1) Определите область значений и диапазон функции, обратной к y = 4x - 3. 2) Найдите обратную функцию для следующих

Черешня

2

Конечно! Давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Для определения области значений и диапазона функции, обратной к \(y = 4x - 3\), сначала найдем саму обратную функцию.

Для этого заменим \(y\) на \(x\) и \(x\) на \(y\):

\[x = 4y - 3\]

Теперь решим это уравнение относительно \(y\). Добавим 3 к обоим сторонам уравнения и разделим результат на 4:

\[x + 3 = 4y\]
\[\frac{x + 3}{4} = y\]

Теперь у нас есть обратная функция \(y = \frac{x + 3}{4}\). Перейдем к определению области значений и диапазона этой функции.

Область значений функции - это множество всех возможных значений, которые может принимать зависимая переменная. В данном случае, область значений функции-обратной будет множество всех возможных значений переменной \(y\).

Поскольку \(y = \frac{x + 3}{4}\), то у нас нет никаких ограничений на \(y\). То есть, область значений функции-обратной будет множество всех действительных чисел.

Диапазон функции - это множество всех возможных значений независимой переменной. В данном случае, диапазон функции-обратной будет множество всех возможных значений переменной \(x\).

Поскольку \(y = \frac{x + 3}{4}\), то можно использовать всю числовую ось для определения значений \(x\). Значит, диапазон функции-обратной тоже будет множеством всех действительных чисел.

2)

а) Для нахождения обратной функции для \(y = \sqrt{x + 5}\), сначала заменим \(y\) на \(x\) и \(x\) на \(y\):

\[x = \sqrt{y + 5}\]

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

\[x^2 = y + 5\]

Теперь выразим \(y\) через \(x\), вычитая 5 из обеих частей уравнения:

\[x^2 - 5 = y\]

Таким образом, обратная функция для \(y = \sqrt{x + 5}\) является \(y = x^2 - 5\).

б) Для нахождения обратной функции для \(y = (x + 3)^2\), снова заменим \(y\) на \(x\) и \(x\) на \(y\):

\[x = (y + 3)^2\]

Раскроем квадрат:

\[x = (y + 3)(y + 3)\]
\[x = y^2 + 6y + 9\]

Выразим \(y\) через \(x\), решив полученное квадратное уравнение:

\[y^2 + 6y + 9 - x = 0\]

Используя квадратное уравнение или метод полного квадрата, мы можем найти, что

\[y = -3 \pm \sqrt{x}\]

Таким образом, обратная функция для \(y = (x + 3)^2\) является двумя функциями: \(y = -3 + \sqrt{x}\) и \(y = -3 - \sqrt{x}\).

Надеюсь, данный подробный ответ был понятен школьнику. Если у него возникнут еще вопросы, я готов помочь!