Какое статическое давление будет в узкой части трубы водяной фонтанной установки, если вода подается изначально

Пугающий_Лис

61

Для решения данной задачи нам понадобится применить уравнение Бернулли, которое описывает связь между скоростью течения, давлением и высотой внутри потока жидкости.

Уравнение Бернулли выглядит следующим образом:

\[P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2\]

где:
\(P_1\) и \(P_2\) - давление в начале и конце трубы соответственно,
\(\rho\) - плотность жидкости,
\(v_1\) и \(v_2\) - скорость течения в начале и конце трубы соответственно,
\(g\) - ускорение свободного падения,
\(h_1\) и \(h_2\) - высоты относительно некоторого уровня.

В данной задаче в начале трубы имеется известное значение давления (\(P_1 = 250 \, кПа\)) и скорости (\(v_1 = 14,4 \, м/с\)), а также известна плотность воды (\(\rho = 1000 \, кг/м^3\)).

Давление в конце трубы (\(P_2\)) является искомой величиной.

Так как труба сужается от диаметра 40 мм до 24 мм, то мы имеем дело с изменением сечения трубы. По закону сохранения массы, объем входящей жидкости должен быть равен объему выходящей жидкости. Это значит, что площадь сечения трубы в начале (\(A_1\)) должна быть равна площади сечения трубы в конце (\(A_2\)).

Площадь сечения трубы можно рассчитать по формуле:

\[A = \pi r^2\]

где:
\(r\) - радиус трубы.

Так как диаметры труб в начале и конце известны (\(d_1 = 40 \, мм\) и \(d_2 = 24 \, мм\)), можно найти радиусы (\(r_1\) и \(r_2\)) и площади сечений (\(A_1\) и \(A_2\)).

Найдем радиусы труб:

\(r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{40 \, мм}{2} = 20 \, мм = 0,02 \, м\)

\(r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{24 \, мм}{2} = 12 \, мм = 0,012 \, м\)

Найдем площади сечений труб:

\(A_1 = \pi (r_1)^2 = \pi (0,02 \, м)^2 \approx 0,001256 \, м^2\)

\(A_2 = \pi (r_2)^2 = \pi (0,012 \, м)^2 \approx 0,000452 \, м^2\)

Теперь, когда у нас есть значение скорости (\(v_1\)), площадей сечений (\(A_1\) и \(A_2\)) и плотности воды (\(\rho\)), мы можем рассчитать статическое давление в конце трубы (\(P_2\)).

Подставим известные значения в уравнение Бернулли:

\(P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2\)

Так как высоты даны в данной задаче, а ускорение свободного падения (\(g\)) можно принять равным 9,8 \(м/с^2\), мы можем упростить уравнение Бернулли следующим образом:

\(P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2\)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(P_2\):

\(P_2 = P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 - \frac{1}{2}\rho v_2^2\)

Подставим известные значения:

\(P_2 = 250 \, кПа + \frac{1}{2} \cdot 1000 \, кг/м^3 \cdot (14,4 \, м/с)^2 - \frac{1}{2} \cdot 1000 \, кг/м^3 \cdot (v_2)^2\)

\(P_2 = 250 \, кПа + \frac{1}{2} \cdot 1000 \, кг/м^3 \cdot (14,4 \, м/с)^2 - \frac{1}{2} \cdot 1000 \, кг/м^3 \cdot (v_2)^2\)

\(P_2 = 250 \, кПа + 1000 \, кг/м^3 \cdot 207,36 \, м^2/с^2 - 500 \, кг/м^3 \cdot (v_2)^2\)

\(P_2 = 250 \, кПа + 207360 \, Па - 500 \, Па \cdot (v_2)^2\)

\(P_2 = 250 \, кПа + 207360 \, Па - 500 \, Па \cdot (14,4 \, м/с)^2\)

\(P_2 = 250 \, кПа + 207360 \, Па - 500 \, Па \cdot 207,36 \, м^2/с^2\)

\(P_2 = 250 \, кПа + 207360 \, Па - 103680 \, Па\)

\(P_2 = 353680 \, Па\)

Таким образом, статическое давление в узкой части трубы водяной фонтанной установки составляет 353680 Па (паскаль).