Какое статическое давление будет в узкой части трубы водяной фонтанной установки, если вода подается изначально

Пугающий_Лис

61

Для решения данной задачи нам понадобится применить уравнение Бернулли, которое описывает связь между скоростью течения, давлением и высотой внутри потока жидкости.

Уравнение Бернулли выглядит следующим образом:

$$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g{h}_1=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g{h}_2$$

где:
$P_1$ и $P_2$ - давление в начале и конце трубы соответственно,
$\rho$ - плотность жидкости,
$v_1$ и $v_2$ - скорость течения в начале и конце трубы соответственно,
$g$ - ускорение свободного падения,
$h_1$ и $h_2$ - высоты относительно некоторого уровня.

В данной задаче в начале трубы имеется известное значение давления ($P_1=250кПа$) и скорости ($v_1=14,4м/с$), а также известна плотность воды ($\rho =1000кг/{м}^3$).

Давление в конце трубы ($P_2$) является искомой величиной.

Так как труба сужается от диаметра 40 мм до 24 мм, то мы имеем дело с изменением сечения трубы. По закону сохранения массы, объем входящей жидкости должен быть равен объему выходящей жидкости. Это значит, что площадь сечения трубы в начале ($A_1$) должна быть равна площади сечения трубы в конце ($A_2$).

Площадь сечения трубы можно рассчитать по формуле:

$$A=\pi r^2$$

где:
$r$ - радиус трубы.

Так как диаметры труб в начале и конце известны ($d_1=40мм$ и $d_2=24мм$), можно найти радиусы ($r_1$ и $r_2$) и площади сечений ($A_1$ и $A_2$).

Найдем радиусы труб:

$r_1=\frac{d_1}{2}=\frac{40мм}{2}=20мм=0,02м$

$r_2=\frac{d_2}{2}=\frac{24мм}{2}=12мм=0,012м$

Найдем площади сечений труб:

$A_1=\pi (r_1{)}^2=\pi (0,02м{)}^2\approx 0,001256{м}^2$

$A_2=\pi (r_2{)}^2=\pi (0,012м{)}^2\approx 0,000452{м}^2$

Теперь, когда у нас есть значение скорости ($v_1$), площадей сечений ($A_1$ и $A_2$) и плотности воды ($\rho$), мы можем рассчитать статическое давление в конце трубы ($P_2$).

Подставим известные значения в уравнение Бернулли:

$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g{h}_1=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g{h}_2$

Так как высоты даны в данной задаче, а ускорение свободного падения ($g$) можно принять равным 9,8 $м/{с}^2$, мы можем упростить уравнение Бернулли следующим образом:

$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $P_2$:

$P_2=P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2-\frac{1}{2}\rho v_2^2$

Подставим известные значения:

$P_2=250кПа+\frac{1}{2}\cdot 1000кг/{м}^3\cdot (14,4м/с{)}^2-\frac{1}{2}\cdot 1000кг/{м}^3\cdot (v_2{)}^2$

$P_2=250кПа+\frac{1}{2}\cdot 1000кг/{м}^3\cdot (14,4м/с{)}^2-\frac{1}{2}\cdot 1000кг/{м}^3\cdot (v_2{)}^2$

$P_2=250кПа+1000кг/{м}^3\cdot 207,36{м}^2/{с}^2-500кг/{м}^3\cdot (v_2{)}^2$

$P_2=250кПа+207360Па-500Па\cdot (v_2{)}^2$

$P_2=250кПа+207360Па-500Па\cdot (14,4м/с{)}^2$

$P_2=250кПа+207360Па-500Па\cdot 207,36{м}^2/{с}^2$

$P_2=250кПа+207360Па-103680Па$

$P_2=353680Па$

Таким образом, статическое давление в узкой части трубы водяной фонтанной установки составляет 353680 Па (паскаль).