1. Определите все значения параметра a, при которых система имеет неограниченное количество решений: a2x+2ay=a

Артемовна

23

1. Чтобы определить значения параметра a, при которых система имеет неограниченное количество решений, мы должны проанализировать коэффициенты уравнений и проверить условие, при котором ранг матрицы коэффициентов меньше ранга расширенной матрицы системы. Давайте начнем с пошагового решения:

Шаг 1: Запишем расширенную матрицу системы:
\[
\begin{{align*}}
a^2 & 2a & | & a \\
1 & a^2 & | & 1 \\
\end{{align*}}
\]

Шаг 2: Приведем матрицу к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования строк:
\[
\begin{{align*}}
\begin{{bmatrix}}
a^2 & 2a & | & a \\
1 & a^2 & | & 1 \\
\end{{bmatrix}}
\rightarrow
\begin{{bmatrix}}
1 & a & | & \frac{1}{a} \\
1 & a^2 & | & 1 \\
\end{{bmatrix}}
\rightarrow
\begin{{bmatrix}}
1 & a & | & \frac{1}{a} \\
0 & a(a-1) & | & 1 - \frac{1}{a} \\
\end{{bmatrix}}
\]

Шаг 3: Рассмотрим два случая:

Случай 1: Пусть \(a(a-1) \neq 0\). В этом случае система будет иметь единственное решение, так как ранг матрицы коэффициентов равен 2, а ранг расширенной матрицы также равен 2.

Случай 2: Пусть \(a(a-1) = 0\). Рассмотрим два подслучая:

- Подслучай 2.1: Пусть \(a = 0\). Если \(a = 0\), то система будет иметь бесконечное количество решений и будет выражаться следующим образом:
\[
\begin{{align*}}
0 \cdot x + 2 \cdot 0 \cdot y & = 0 \\
x + 0 \cdot y & = 1 \\
\end{{align*}}
\]
Таким образом, система неограниченно зависима от переменных x и y.

- Подслучай 2.2: Пусть \(a = 1\). Если \(a = 1\), то система также будет иметь бесконечное количество решений и будет выражаться следующим образом:
\[
\begin{{align*}}
1 \cdot x + 2 \cdot 1 \cdot y & = 1 \\
x + 1 \cdot y & = 1 \\
\end{{align*}}
\]
В этом случае система также будет неограниченно зависима от переменных x и y.

Итак, когда \(a = 0\) или \(a = 1\), система будет иметь неограниченное количество решений.

2. Чтобы определить значение параметра a, при котором прямые \(ax-y=8\) и \(x-y=4\) пересекаются в точке, которая принадлежит обоим прямым, мы должны найти значения x и y, удовлетворяющие обоим уравнениям. Давайте решим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Запишем уравнения прямых:
\[
\begin{{align*}}
ax - y & = 8 \quad (1) \\
x - y & = 4 \quad (2) \\
\end{{align*}}
\]

Шаг 2: Решим систему уравнений (1) и (2) методом подстановки. Подставим выражение \(x = y + 4\) из уравнения (2) в уравнение (1):
\[
a(y + 4) - y = 8
\]

Располагая соответствующие члены на одной стороне уравнения, получим:
\[
ay + 4a - y = 8
\]

Шаг 3: Сгруппируем переменные с y:
\[
(y - y) + (4a - 8) = 0
\]

Шаг 4: Упростим уравнение:
\[
4a - 8 = 0
\]

Шаг 5: Решим полученное уравнение относительно a:
\[
4a = 8 \implies a = 2
\]

Таким образом, при \(a = 2\) прямые \(ax-y=8\) и \(x-y=4\) пересекаются в точке, которая принадлежит обоим прямым.

Я надеюсь, что эти пошаговые решения помогут вам лучше понять данные задачи.