№1. Отрисуйте линию СD и вектор b. Постройте линию С1D1, которая получается из линии CD с помощью параллельного сдвига

Zhuchka

54

№1. Чтобы отрисовать линию CD и вектор b, мы должны иметь некоторые точки на координатной плоскости. Предположим, что точка C имеет координаты (x1, y1), а точка D имеет координаты (x2, y2). Тогда линия CD можно представить уравнением:

\[y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\]

Для построения вектора b, нужно знать его начальную точку и его направление. Пусть начальная точка вектора b имеет координаты (x3, y3), а его компоненты по осям x и y равны (b_x, b_y). Тогда вектор b можно представить как:

\[b = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix}\]

Чтобы построить линию C1D1, которая получается из линии CD с помощью параллельного сдвига на вектор b, нужно сдвинуть координаты точек C и D на компоненты вектора b:

\[C1 = C + b = \begin{pmatrix} x1 + b_x \\ y1 + b_y \end{pmatrix}\]
\[D1 = D + b = \begin{pmatrix} x2 + b_x \\ y2 + b_y \end{pmatrix}\]

Отрисовав линии CD и C1D1, мы получим графическое представление задачи.

№2. Чтобы построить линию N1K1, которая получается из заданной линии NK путем поворота вокруг центра O на 120° по часовой стрелке, нужно использовать формулу поворота точки на плоскости.

Пусть точка N имеет координаты (x1, y1), точка K имеет координаты (x2, y2), а точка O - центр поворота - имеет координаты (xO, yO). Тогда для точки N1 координаты можно выразить следующим образом:

\[x1_1 = xO + (x1 - xO)\cos(120°) + (y1 - yO)\sin(120°)\]
\[y1_1 = yO - (x1 - xO)\sin(120°) + (y1 - yO)\cos(120°)\]

Где cos(120°) = -1/2 и sin(120°) = √3/2.

Аналогично, координаты точки K1 можно выразить по формулам:

\[x2_1 = xO + (x2 - xO)\cos(120°) + (y2 - yO)\sin(120°)\]
\[y2_1 = yO - (x2 - xO)\sin(120°) + (y2 - yO)\cos(120°)\]

Построив линии NK и N1K1, мы получим графическое представление второй задачи.

№3. а) Чтобы построить фигуру, которая симметрична линии AB относительно оси Ох, нужно отразить точки A и B относительно этой оси. Так как ось Ох находится на оси абсцисс, координата y для отраженных точек будет равна отрицательной координате y исходных точек.

Отраженные координаты точки A будут:

\[A1 = (x_A, -y_A)\]

Аналогично для точки B:

\[B1 = (x_B, -y_B)\]

Построив точки A1 и B1, а затем соединив их линией, мы получим симметричную фигуру.

б) Чтобы построить линию А1B1, которая симметрична линии AB относительно точки C, нужно отразить точки A и B относительно точки C. Для этого нужно найти симметричную точку M относительно точки C и построить отрезок А1B1 как прямую, проходящую через симметричные точки M и B.

Чтобы найти симметричную точку M относительно точки C, нужно использовать формулу:

\[M = 2C - A\]

Аналогично, для симметричной точки N относительно точки C:

\[N = 2C - B\]

Построив точки A1 и B1, соединив точки М и B линией, мы получим линию А1B1, симметричную линии AB относительно точки C.

№4. Чтобы построить диаметр A1B1, который получается из диаметра AB путем поворота вокруг центра окружности O, нужно использовать формулу поворота точек окружности на плоскости.

Предположим, что центр окружности О имеет координаты (xO, yO), а точки A и B на окружности имеют углы α и β, соответственно, относительно горизонтальной оси.

Формулы для вычисления координат точек на окружности A1 и B1 будут:

\[x_{A1} = xO + (x_A - xO)\cos(\theta) - (y_A - yO)\sin(\theta)\]
\[y_{A1} = yO + (x_A - xO)\sin(\theta) + (y_A - yO)\cos(\theta)\]

\[x_{B1} = xO + (x_B - xO)\cos(\theta) - (y_B - yO)\sin(\theta)\]
\[y_{B1} = yO + (x_B - xO)\sin(\theta) + (y_B - yO)\cos(\theta)\]

где \(\theta\) - угол поворота.

Построив точки A1 и B1, а затем соединив их линией, мы получим диаметр A1B1, полученный путем поворота диаметра AB вокруг центра окружности O.