Какова длина боковой стороны трапеции, если один из ее углов вдвое больше противоположного угла и ее основания равны

Солнышко

67

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства трапеции и знание о сумме углов в треугольнике.

Дано, что один из углов трапеции вдвое больше противоположного угла. Обозначим противоположный угол как \(\alpha\) и угол, вдвое больший, как \(2\alpha\).

Также, известно, что основания трапеции равны. Обозначим длину основания как \(a\).

У трапеции есть две пары боковых сторон, которые равны друг другу. Пусть одна пара боковых сторон имеет длину \(b\), а другая пара - \(c\).

Мы также знаем, что сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).

Теперь мы можем перейти к решению задачи.

Из условия задачи мы знаем, что углы трапеции связаны следующим образом:
\[\alpha + 2\alpha + \alpha + 2\alpha = 180^\circ\]

Складываем углы:
\(6\alpha = 180^\circ\)

Делим обе части уравнения на 6, чтобы найти значение угла \(\alpha\):
\(\alpha = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ\)

Теперь мы можем найти длину боковой стороны трапеции. Поскольку боковые стороны образуют прямой угол с основанием, то угол между основанием и боковой стороной равен \(90^\circ - \alpha\).

Применяем теорему косинусов к треугольнику ABC, где A - верхний левый угол, B - нижний левый угол трапеции, а C - левый нижний угол треугольника:
\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(90^\circ - \alpha)\]

Поскольку угол \(\alpha\) равен \(30^\circ\), то угол \(90^\circ - \alpha\) равен \(60^\circ\). Записываем получившееся уравнение:
\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(60^\circ)\]

Так как угол \(60^\circ\) соответствует равностороннему треугольнику, то \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\).

Подставляем это значение в уравнение:
\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cdot\frac{1}{2}\]

Далее, поскольку основания равны, то \(a = c\), следовательно:
\[b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\cdot\frac{1}{2}\]

Упрощаем получившееся уравнение:
\[b^2 = 2a^2 - a^2 = a^2\]

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
\[b = \sqrt{a^2} = a\]

Таким образом, длина боковой стороны трапеции равна длине основания. Ответ: длина боковой стороны трапеции равна длине основания \(a\).