1. По курсу 8 класса была проведена итоговая контрольная работа. Вариант 2. Задача №1. В треугольнике с равными

Морозный_Король

61

Для начала решим задачу номер 1.

У нас есть треугольник с равными боковыми сторонами длиной 13 см и медианой, проведенной к основанию, длиной 5 см. Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона, которая гласит:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника, a, b и c - длины сторон треугольника.

Периметр треугольника можно найти, просто сложив длины всех его сторон.

По условию имеем, что две стороны треугольника равны (боковые стороны), а медиана является третьей стороной, длина которой равна 5 см. Поскольку в треугольнике все боковые стороны равны, мы можем обозначить любую боковую сторону как a, таким образом, a = 13 см.

Полупериметр треугольника можно найти, сложив длины всех его сторон и разделив полученную сумму на 2:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

Так как у нас равные стороны a, b и c, формула упрощается до:

\[p = \frac{3a}{2}\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу площади и периметра треугольника:

\[a = 13 \text{ см}\]
\[p = \frac{3a}{2} = \frac{3 \cdot 13}{2} = 19.5 \text{ см}\]
\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{19.5 \cdot (19.5 - 13) \cdot (19.5 - 13) \cdot (19.5 - 13)}\]
\[P = a + b + c = 13 + 13 + 5\]

После подстановки и вычислений получаем:

\[S = \sqrt{19.5 \cdot 6.5 \cdot 6.5 \cdot 6.5} \approx 42.3 \text{ см}^2\]
\[P = 13 + 13 + 5 = 31 \text{ см}\]

Ответ: площадь треугольника составляет примерно 42.3 квадратных сантиметра, а периметр равен 31 см.

Перейдем к задаче номер 2.

У нас есть ромб с диагоналями длиной 8 см и 6 см. Чтобы найти периметр ромба, нужно сложить длины всех его сторон. Для нахождения площади ромба, мы можем воспользоваться формулой:

\[S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\]

где S - площадь ромба, \(d_1\) и \(d_2\) - длины диагоналей ромба.

Поскольку у нас уже известны длины диагоналей, мы можем подставить значения в формулу:

\[d_1 = 8 \text{ см}\]
\[d_2 = 6 \text{ см}\]
\[S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24 \text{ см}^2\]

Теперь найдем периметр ромба. У нас нет информации о сторонах, поэтому воспользуемся другой формулой:

\[P = 4 \cdot a\]

где P - периметр ромба, a - длина любой стороны ромба.

Для нахождения периметра нам нужно найти длину стороны ромба. Мы можем воспользоваться формулой косинусов, поскольку у нас есть длины двух диагоналей и они образуют угол друг с другом.

\[a^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} - \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \cdot \cos(\alpha)\]

где a - длина стороны ромба, \(\alpha\) - угол между диагоналями.

Для удобства вычислений, можно заменить \(\cos(\alpha)\) на \(\cos(180 - \alpha)\), поскольку у ромба угол между диагоналями равен 180 градусов минус угол между сторонами ромба.

Подставим значения и вычислим:

\[a^2 = \frac{8^2}{4} + \frac{6^2}{4} - \frac{8 \cdot 6}{2} \cdot \cos(180 - \alpha)\]
\[a^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \cos(180 - \alpha)\]

Теперь нам нужно найти \(\cos(180 - \alpha)\). Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством:

\(\cos(180 - \alpha) = -\cos(\alpha)\)

\(\because\) ромб - симметричная фигура, угол между его диагоналями равен 90 градусов, можем найти \(\cos(\alpha)\) с помощью тригонометрического соотношения:

\[\cos(\alpha) = \frac{d}{a}\]

где d - длина одной из диагоналей.

\[d_1 = 8 \text{ см}\]
\[d_2 = 6 \text{ см}\]

Выберем диагональ \(d_1\) для расчетов.

\[\cos(\alpha) = \frac{d_1}{a} = \frac{8}{a}\]

Теперь заменим \(\cos(\alpha)\) на \(\frac{8}{a}\) в формуле для \(a^2\) и вычислим:

\[a^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \left(-\frac{8}{a}\right)\]
\[a^2 = 16 + 9 + \frac{8 \cdot 24}{a}\]
\[a^2 = 25 + \frac{192}{a}\]

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить. Однако, для нахождения периметра ромба нам не обязательно знать его длину стороны. Мы можем воспользоваться тем, что сумма длин всех сторон ромба равна удвоенной сумме длин диагоналей. Находим периметр:

\[P = 2 \cdot (d_1 + d_2) = 2 \cdot (8 + 6) = 28 \text{ см}\]

Ответ: площадь ромба составляет 24 квадратных сантиметра, а периметр равен 28 см.

Перейдем к задаче номер 3.

У нас есть трапеция ABCD с известными основаниями AD и ВС длиной 27 см и 13 см соответственно, боковым ребром CD длиной 10 см и углом D, равным 30 градусам. Чтобы найти площадь трапеции, мы можем воспользоваться формулой:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

где S - площадь трапеции, a и b - длины оснований, h - высота трапеции.

Чтобы найти высоту трапеции, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника BCD:

\[BC^2 = BD^2 + CD^2\]

Поскольку треугольник BCD прямоугольный и у нас известны две его стороны, мы можем найти третью сторону с помощью этой формулы.

\[BD = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \sqrt{27^2 - 10^2} = \sqrt{729 - 100} = \sqrt{629} \approx 25.1 \text{ см}\]

Теперь мы можем использовать найденное значение BD для нахождения высоты трапеции. Поскольку высота проведена к основанию AD, можно считать, что высота делит трапецию на два прямоугольных треугольника. Мы можем найти высоту одного из этих треугольников, используя теорему Пифагора:

\[h^2 = BD^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 = 629 - \left(\frac{27 - 13}{2}\right)^2 = 629 - 7^2 = 629 - 49 = 580\]
\[h = \sqrt{580} \approx 24.1 \text{ см}\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу площади трапеции и найти площадь:

\[a = 27 \text{ см}\]
\[b = 13 \text{ см}\]
\[h = \sqrt{580} \approx 24.1 \text{ см}\]
\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(27 + 13) \cdot \sqrt{580}}{2}\]

После подстановки и вычислений получаем:

\[S \approx \frac{40 \cdot \sqrt{580}}{2} \approx \frac{40 \cdot 24.1}{2} \approx 484 \text{ см}^2\]

Ответ: площадь трапеции составляет примерно 484 квадратных сантиметра.

Перейдем к задаче номер 4.

У нас есть окружность, в которой проведены две хорды АВ и CD и пересекаются в точке М. Мы знаем, что МВ равно. Чтобы продолжить задачу, нам нужно уточнить, что именно равно МВ. От вас недостающая часть. Если вы предоставите это значение, я смогу продолжить решение задачи.