1. Под каким углом к положительным направлению оси абсцисс наклонена касательная, проведенная в произвольной точке

Василиса_3336

6

1. Чтобы найти угол наклона касательной к функции, нам нужно найти производную функции и подставить координаты точки, в которой проводится касательная. Для данной функции, у = –2х^5 – х^3 – 4х + 1000, найдем ее производную:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -10x^4 - 3x^2 - 4
\]

Подставим координаты произвольной точки \((x_0, y_0)\) в формулу для производной, чтобы найти значение углового коэффициента:

\[
\frac{{dy}}{{dx}}\Bigr|_{(x_0, y_0)} = -10x_0^4 - 3x_0^2 - 4
\]

Теперь мы можем проанализировать знак полученного значения углового коэффициента. Если оно положительное, то касательная наклонена под острым углом к положительному направлению оси абсцисс. Если оно отрицательное, то касательная наклонена под тупым углом к положительному направлению оси абсцисс. Если угловой коэффициент равен нулю, то касательная параллельна оси \(Ox\).

2. Для нахождения отрицательной абсциссы \(x_0\), в которой угловой коэффициент касательной равен 0, мы должны найти производную функции и приравнять ее к нулю. Данная функция \(f(x) = x^3 + x^2 – x – 7\). Найдем ее производную:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 3x^2 + 2x - 1
\]

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[
3x^2 + 2x - 1 = 0
\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с использованием дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16
\]

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня:

\[
x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-2 \pm \sqrt{16}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{-2 \pm 4}}{{6}}
\]

Теперь найдем значения \(x_1\) и \(x_2\):

\[
x_1 = \frac{{-2 + 4}}{{6}} = \frac{{2}}{{6}} = \frac{{1}}{{3}}
\]
\[
x_2 = \frac{{-2 - 4}}{{6}} = \frac{{-6}}{{6}} = -1
\]

Значение \(x_0\) будет равно -1, так как мы искали отрицательную абсциссу.

3. Чтобы найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции \(f(x) = 0.1x^2 - 1\) наклонена к оси \(Ox\) под углом 45°, мы должны использовать свойство тангенса наклона касательной. Угол между касательной и осью \(Ox\) равен 45°, поэтому тангенс этого угла равен 1.

Для данной функции \(f(x) = 0.1x^2 - 1\), найдем ее производную:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 0.2x
\]

Теперь приравняем тангенс угла наклона к производной функции и решим уравнение:

\[
\tan(45^\circ) = \frac{{\frac{{dy}}{{dx}}}}{{1}} = \frac{{0.2x}}{{1}}
\]

Решив это уравнение, найдем значение \(x\):

\[
0.2x = 1 \Rightarrow x = \frac{{1}}{{0.2}} = 5
\]

Таким образом, абсцисса точки, в которой касательная наклонена к оси \(Ox\) под углом 45°, равна 5.

Надеюсь, эти пошаговые решения помогли вам разобраться с данными задачами. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!