1. Под каким углом к положительным направлению оси абсцисс наклонена касательная, проведенная в произвольной точке
1. Под каким углом к положительным направлению оси абсцисс наклонена касательная, проведенная в произвольной точке кривой, заданной у = –2х5 – х3 – 4х + 1000? а) Острый угол б) Тупой угол в) Параллельна оси Ох
6. Какое значение имеет отрицательная абсцисса х0, в которой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x) = x3 + x2 – x – 7, равен 0? а) -6 б) -1 в) -3
7. Где находится абсцисса точки, в которой касательная к графику функции f(x) = 0.1x2 - 1 наклонена к оси Ох под углом 450? а) 5 б) -5
6. Какое значение имеет отрицательная абсцисса х0, в которой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x) = x3 + x2 – x – 7, равен 0? а) -6 б) -1 в) -3
7. Где находится абсцисса точки, в которой касательная к графику функции f(x) = 0.1x2 - 1 наклонена к оси Ох под углом 450? а) 5 б) -5
Василиса_3336 6
1. Чтобы найти угол наклона касательной к функции, нам нужно найти производную функции и подставить координаты точки, в которой проводится касательная. Для данной функции, у = –2х^5 – х^3 – 4х + 1000, найдем ее производную:\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -10x^4 - 3x^2 - 4
\]
Подставим координаты произвольной точки \((x_0, y_0)\) в формулу для производной, чтобы найти значение углового коэффициента:
\[
\frac{{dy}}{{dx}}\Bigr|_{(x_0, y_0)} = -10x_0^4 - 3x_0^2 - 4
\]
Теперь мы можем проанализировать знак полученного значения углового коэффициента. Если оно положительное, то касательная наклонена под острым углом к положительному направлению оси абсцисс. Если оно отрицательное, то касательная наклонена под тупым углом к положительному направлению оси абсцисс. Если угловой коэффициент равен нулю, то касательная параллельна оси \(Ox\).
2. Для нахождения отрицательной абсциссы \(x_0\), в которой угловой коэффициент касательной равен 0, мы должны найти производную функции и приравнять ее к нулю. Данная функция \(f(x) = x^3 + x^2 – x – 7\). Найдем ее производную:
\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 3x^2 + 2x - 1
\]
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[
3x^2 + 2x - 1 = 0
\]
Это квадратное уравнение, которое можно решить с использованием дискриминанта:
\[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16
\]
Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня:
\[
x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-2 \pm \sqrt{16}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{-2 \pm 4}}{{6}}
\]
Теперь найдем значения \(x_1\) и \(x_2\):
\[
x_1 = \frac{{-2 + 4}}{{6}} = \frac{{2}}{{6}} = \frac{{1}}{{3}}
\]
\[
x_2 = \frac{{-2 - 4}}{{6}} = \frac{{-6}}{{6}} = -1
\]
Значение \(x_0\) будет равно -1, так как мы искали отрицательную абсциссу.
3. Чтобы найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции \(f(x) = 0.1x^2 - 1\) наклонена к оси \(Ox\) под углом 45°, мы должны использовать свойство тангенса наклона касательной. Угол между касательной и осью \(Ox\) равен 45°, поэтому тангенс этого угла равен 1.
Для данной функции \(f(x) = 0.1x^2 - 1\), найдем ее производную:
\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 0.2x
\]
Теперь приравняем тангенс угла наклона к производной функции и решим уравнение:
\[
\tan(45^\circ) = \frac{{\frac{{dy}}{{dx}}}}{{1}} = \frac{{0.2x}}{{1}}
\]
Решив это уравнение, найдем значение \(x\):
\[
0.2x = 1 \Rightarrow x = \frac{{1}}{{0.2}} = 5
\]
Таким образом, абсцисса точки, в которой касательная наклонена к оси \(Ox\) под углом 45°, равна 5.
Надеюсь, эти пошаговые решения помогли вам разобраться с данными задачами. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!