1) Подобрав адекватную замену, решите уравнение: x⁴– 5x + 4 = 0. 3) Подобрав соответствующую замену, решите уравнение

Volshebnik

13

Давайте решим каждое из заданных уравнений, применив соответствующие замены и пошагово объяснив каждый шаг.

1) Уравнение: \(x⁴– 5x + 4 = 0\)

Для начала, давайте проведем замену переменной \(y = x²\). Заметим, что при такой замене уравнение примет вид \(y² - 5y + 4 = 0\).

Решим полученное квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена или метода факторизации. Получаем:

\[(y - 4)(y - 1) = 0\]

Теперь, рассмотрим два случая:

a) \(y - 4 = 0\)

Решим это уравнение: \(y = 4\)

Теперь, подставим обратно значение \(y\) в нашу замену: \(x² = 4\)

Из этого уравнения мы найдем два значения \(x\): \(x₁ = 2\) и \(x₂ = -2\).

b) \(y - 1 = 0\)

Решим это уравнение: \(y = 1\)

Теперь, подставим обратно значение \(y\) в нашу замену: \(x² = 1\)

Из этого уравнения мы найдем еще два значения \(x\): \(x₃ = 1\) и \(x₄ = -1\).

Итак, решение уравнения состоит из четырех значений \(x\): \(x₁ = 2\), \(x₂ = -2\), \(x₃ = 1\), \(x₄ = -1\).

3) Уравнение: \(9x⁴ + 23x² – 12 = 0\)

В данном уравнении нам может помочь замена переменной \(y = x²\). После этой замены уравнение приобретает вид: \(9y² + 23y - 12 = 0\).

Произведем факторизацию этого квадратного трехчлена:

\((3y - 4)(3y + 1) = 0\)

Теперь, рассмотрим два случая:

a) \(3y - 4 = 0\)

Решим это уравнение: \(y = \frac{4}{3}\)

Теперь, подставим обратно значение \(y\) в нашу замену: \(x² = \frac{4}{3}\)

Из этого уравнения мы найдем два значения \(x\):

\[x₁ = \sqrt{\frac{4}{3}}\] и \(x₂ = -\sqrt{\frac{4}{3}}\)

b) \(3y + 1 = 0\)

Решим это уравнение: \(y = -\frac{1}{3}\)

Теперь, подставим обратно значение \(y\) в нашу замену: \(x² = -\frac{1}{3}\)

Важно заметить, что уравнение не имеет действительных корней, поскольку квадрат не может быть отрицательным.

Итак, решение уравнения состоит из двух значений \(x\):

\[x₁ = \sqrt{\frac{4}{3}}\] и \(x₂ = -\sqrt{\frac{4}{3}}\).

5) Уравнение: \(4x⁴ – 5x² +1= 0\)

Для этого уравнения мы можем применить замену переменной \(y = x²\). После замены уравнение принимает вид: \(4y² - 5y + 1 = 0\).

Решим полученное квадратное уравнение, факторизуя его:

\((4y - 1)(y - 1) = 0\)

Теперь, рассмотрим два случая:

a) \(4y - 1 = 0\)

Решим это уравнение: \(y = \frac{1}{4}\)

Теперь, подставим обратно значение \(y\) в нашу замену: \(x² = \frac{1}{4}\)

Из этого уравнения мы найдем два значения \(x\):

\[x₁ = \frac{1}{2}\] и \(x₂ = -\frac{1}{2}\)

b) \(y - 1 = 0\)

Решим это уравнение: \(y = 1\)

Теперь, подставим обратно значение \(y\) в нашу замену: \(x² = 1\)

Из этого уравнения мы также найдем два значения \(x\):

\[x₃ = 1\] и \(x₄ = -1\)

Итак, решение уравнения состоит из четырех значений \(x\):

\[x₁ = \frac{1}{2}\), \(x₂ = -\frac{1}{2}\), \(x₃ = 1\), \(x₄ = -1\).

7) Уравнение: \(4x⁴– 9x² +2=0\)

Попробуем заменить переменную \(y = x²\) и решим уравнение с использованием этой замены. Уравнение принимает вид: \(4y² - 9y + 2 = 0\).

Решим полученное квадратное уравнение, факторизуя его:

\((4y - 1)(y - 2) = 0\)

Теперь настало время проанализировать два случая:

a) \(4y - 1 = 0\)

Решим это уравнение: \(y = \frac{1}{4}\)

Теперь, подставим обратно значение \(y\) в нашу замену: \(x² = \frac{1}{4}\)

Из этого уравнения мы найдем два значения \(x\):

\[x₁ = \frac{1}{2}\] и \(x₂ = -\frac{1}{2}\)

b) \(y - 2 = 0\)

Решим это уравнение: \(y = 2\)

Теперь, подставим обратно значение \(y\) в нашу замену: \(x² = 2\)

Из этого уравнения мы также найдем два значения \(x\):

\[x₃ = \sqrt{2}\] и \(x₄ = -\sqrt{2}\)

Итак, решение уравнения состоит из четырех значений \(x\):

\[x₁ = \frac{1}{2}\), \(x₂ = -\frac{1}{2}\), \(x₃ = \sqrt{2}\), \(x₄ = -\sqrt{2}\).

Теперь, перейдем к следующим уравнениям. Дайте мне минуту, чтобы расписать решение для каждого из них.