Какую разность нужно взять в арифметической прогрессии, чтобы наименьшее произведение третьего и пятого членов

Артур

56

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов:

Шаг 1: Определение формулы элемента арифметической прогрессии
В арифметической прогрессии каждый следующий член получается путем прибавления к предыдущему члену одного и того же числа, называемого разностью прогрессии (d). Общая формула элемента арифметической прогрессии имеет вид:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

Где a_n - это n-ый член прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, n - номер члена прогрессии, d - разность прогрессии.

Шаг 2: Расчет второго члена прогрессии
В задаче сказано, что нужно утроить второй член прогрессии. Пусть второй член прогрессии равен b. Тогда утроенный второй член будет 3b.

Шаг 3: Расчет четвертого члена прогрессии
Мы должны добавить четвертый член прогрессии к утроенному второму члену и получить некоторое число. Пусть четвертый член прогрессии равен c. Тогда сумма утроенного второго члена и четвертого члена будет равна 3b + c.

Шаг 4: Расчет произведения третьего и пятого членов прогрессии
Мы хотим найти разность, для которой произведение третьего и пятого членов прогрессии будет минимальным. Пусть третий член прогрессии равен p и пятый член прогрессии равен q. Тогда произведение третьего и пятого членов будет p * q.

Шаг 5: Выражение произведения через разность и исходные значения
Используя формулу для элемента арифметической прогрессии, мы можем выразить третий и пятый члены через разность прогрессии и исходные значения:
третий член: \(p = a_1 + 2d\)
пятый член: \(q = a_1 + 4d\)

Произведение третьего и пятого членов: \(p \cdot q = (a_1 + 2d) \cdot (a_1 + 4d)\)

Шаг 6: Нахождение разности, при которой произведение минимально
Чтобы получить наименьшее произведение, нужно возможно уменьшить значение \(p \cdot q\). Для этого мы найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю. Затем решим уравнение и найдем значение разности, для которого произведение минимально.

\(\frac{{d(p\cdot q)}}{{dd}} = 0\)

\((a_1+2d)\cdot 4 + (a_1+4d)\cdot 2 = 0\)

\(6a_1 + 18d = 0\)

\(3a_1 + 9d = 0\)

\(a_1 = -3d\)

Таким образом, разность прогрессии должна быть равна \(-3d\), где d - любое число.

Шаг 7: Подстановка значения разности в выражение произведения
Теперь мы можем подставить найденное значение \(a_1\) в выражение для произведения третьего и пятого членов прогрессии:
\(p \cdot q = (-3d + 2d) \cdot (-3d + 4d) = (-d) \cdot (d) = -d^2\)

Таким образом, наименьшее произведение третьего и пятого членов прогрессии будет равно \(-d^2\).

Итак, чтобы получить наименьшее произведение третьего и пятого членов арифметической прогрессии, необходимо взять разность прогрессии равной \(-d\).