1. Построить граф для отношения равенства на множестве дробей { 3 /4, 1/ 5, 9 /12, 5 /25, 12 /6}. Какие особенности

Пеликан

63

Задача 1:
Для построения графа отношения равенства на множестве дробей { 3/4, 1/5, 9/12, 5/25, 12/6}, создадим вершины для каждой дроби и соединим их ребрами, если дроби равны друг другу. Таким образом, граф будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{c}
\frac{3}{4} \longleftrightarrow \frac{9}{12} \\
\\
\longleftrightarrow \\
\\
\frac{1}{5} \longleftrightarrow \frac{5}{25} \\
\\
\longleftrightarrow \\
\\
\frac{12}{6}
\end{array}
\]

В этом графе есть несколько особенностей:
1) Заметим, что все дроби сокращаются до своих наименьших частей. Например, \(\frac{9}{12}\) может быть сокращена до \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{5}{25}\) может быть сокращена до \(\frac{1}{5}\). Это говорит о том, что все эти дроби являются эквивалентными и представляют собой одну и ту же десятичную дробь.

2) В графе присутствуют циклы. Например, можно пройти от \(\frac{3}{4}\) до \(\frac{9}{12}\), затем к \(\frac{5}{25}\), и вернуться обратно к \(\frac{3}{4}\). Это означает, что все дроби в этом цикле равны друг другу.

3) Граф не содержит изолированных вершин. Все дроби связаны путями равенства и могут быть преобразованы друг в друга с помощью сокращений.

Задача 2:
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, мы должны найти их общий знаменатель и умножить числитель и знаменатель каждой дроби на такое число, чтобы знаменатель стал общим.

а) Дроби \(\frac{1}{3}\) и \(\frac{1}{102}\) имеют общий знаменатель 306. Первую дробь умножим на \(\frac{306}{1}\), а вторую на \(\frac{306}{2}\):

\[
\frac{1}{3} \cdot \frac{306}{1} = \frac{306}{3} = 102
\]
\[
\frac{1}{102} \cdot \frac{306}{2} = \frac{306}{204} = \frac{3}{2}
\]

б) Дроби \(\frac{7}{16}\) и \(\frac{5}{844}\) имеют общий знаменатель 13472. Первую дробь умножим на \(\frac{13472}{32}\), а вторую на \(\frac{13472}{844}\):

\[
\frac{7}{16} \cdot \frac{13472}{32} = \frac{13472}{512} = \frac{131}{8}
\]
\[
\frac{5}{844} \cdot \frac{13472}{844} = \frac{13472}{70736} = \frac{1}{4}
\]

в) Дроби \(\frac{15}{171}\) и \(\frac{23}{270}\) имеют общий знаменатель 45990. Первую дробь умножим на \(\frac{45990}{285}\), а вторую на \(\frac{45990}{270}\):

\[
\frac{15}{171} \cdot \frac{45990}{285} = \frac{45990}{4576} = \frac{463}{29}
\]
\[
\frac{23}{270} \cdot \frac{45990}{270} = \frac{45990}{72900} = \frac{2}{3}
\]

Задача 3:
Чтобы найти несократимую дробь, равную заданным дробям, мы должны найти их наименьшее общее кратное (НОК) и разделить оба числителя и знаменателя на это НОК.

а) Дробь \(\frac{108}{144}\) может быть сокращена. Ее НОК равно 144, поэтому можем разделить числитель и знаменатель на 144:

\[
\frac{108}{144} = \frac{108 \div 144}{144 \div 144} = \frac{3}{4}
\]

б) Дробь \(\frac{402}{455}\) также может быть сокращена. НОК этих дробей равно 910, поэтому разделим числитель и знаменатель на 910:

\[
\frac{402}{455} = \frac{402 \div 910}{455 \div 910} = \frac{201}{227}
\]

в) Дробь \(\frac{780}{2730}\) имеет НОК равное 2730. Разделим числитель и знаменатель на 2730:

\[
\frac{780}{2730} = \frac{780 \div 2730}{2730 \div 2730} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}
\]

г) В выражении \(45 \times 56 + 45 \times 14 \div 70 \times 72\) сначала выполним умножение и деление:

\[
45 \times 56 + 45 \times 14 \div 70 \times 72 = 2520 + 630 \div 5040 = 2520 + \frac{630}{5040}
\]

Затем приведем дробь к несократимому виду, найдя их НОК:

\[
2520 + \frac{630}{5040} = \frac{2520 \times 5040 + 630}{5040} = \frac{12700800 + 630}{5040} = \frac{12701430}{5040}
\]

Результат несократимой дроби равен \(\frac{12701430}{5040}\).

д) В выражении \(38 \times 53 - 38 \times 25 \div 19 \times 42\) также сначала выполним умножение и деление:

\[
38 \times 53 - 38 \times 25 \div 19 \times 42 = 2014 - 950 \div 798 = 2014 - \frac{950}{798}
\]

Затем приведем дробь к несократимому виду, найдя их НОК:

\[
2014 - \frac{950}{798} = \frac{2014 \times 798 - 950}{798} = \frac{1609572 - 950}{798} = \frac{1608622}{798}
\]

Результат несократимой дроби равен \(\frac{1608622}{798}\).