1. Постройте график функции f(x)=x^2-2x-3. Используя график, определите: 1) наибольшие и наименьшие значения функции

Загадочный_Лес

11

Хорошо, давайте начнем с первой задачи.

1. Постройте график функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\):

Для начала, построим таблицу значений функции \(f(x)\), чтобы визуализировать ее поведение на графике:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-2 & 9 \\
-1 & 0 \\
0 & -3 \\
1 & -4 \\
2 & -3 \\
3 & 0 \\
4 & 5 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь рисуем график, используя полученные значения:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={\(x\)},
ylabel={\(f(x)\)},
xmin=-3, xmax=5,
ymin=-5, ymax=10,
grid=both,
axis lines=middle,
minor tick num=1,
axis line style={-latex},
ticklabel style={font=\scriptsize},
]
\addplot[blue, mark=none, smooth, domain=-2.5:4.5] {x^2-2*x-3};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Теперь давайте приступим к анализу полученного графика:

1) Наибольшие и наименьшие значения функции:

На графике мы видим, что наибольшее значение функции достигается при \(x = -1\), и равно \(f(-1) = 0\). Наименьшее значение функции достигается при \(x = 2\), и равно \(f(2) = -3\).

2) Область значений функции:

Область значений функции \(f(x)\) - это множество всех возможных значений \(f(x)\) при изменении переменной \(x\). Судя по графику, область значений функции \(f(x)\) состоит из всех вещественных чисел, так как график функции \(f(x)\) охватывает все значения отрицательных и положительных чисел, не имея верхней или нижней границы.

3) Интервалы возрастания и убывания функции:

Функция \(f(x)\) возрастает на промежутке \((- \infty, 1)\) и убывает на промежутке \((1, + \infty)\). Это можно увидеть на графике, где линия возрастает слева от точки \(x = 1\) и убывает справа от нее.

4) Множество решений неравенства \(f(x) < 0\):

Чтобы найти множество решений неравенства \(f(x) < 0\), мы ищем значения \(x\), при которых функция \(f(x)\) меньше нуля. На графике видно, что функция \(f(x)\) имеет значения меньше нуля в интервалах \((-1, 2)\). Таким образом, множество решений данного неравенства - это интервал \((-1, 2)\).

Аналогично, можно решить неравенство \(f(x) > 0\). Оно будет иметь множество решений \((-\infty, -1) \cup (2, +\infty)\), так как функция \(f(x)\) положительна в этих интервалах.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2. Постройте график функции \(f(x) = 6x - 2x^2\):

Рассмотрим таблицу значений:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-2 & -20 \\
-1 & -8 \\
0 & 0 \\
1 & 4 \\
2 & 4 \\
3 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Построим график:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={\(x\)},
ylabel={\(f(x)\)},
xmin=-3, xmax=4,
ymin=-25, ymax=5,
grid=both,
axis lines=middle,
minor tick num=1,
axis line style={-latex},
ticklabel style={font=\scriptsize},
]
\addplot[blue, mark=none, smooth, domain=-2.5:3.5] {6*x - 2*x^2};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Анализ полученного графика:

1) Наибольшие и наименьшие значения функции:

На графике мы видим, что наибольшее значение функции достигается при \(x = 1\) и \(x = 2\), и равно \(f(1) = f(2) = 4\). Наименьшее значение функции достигается при \(x = -2\), и равно \(f(-2) = -20\).

2) Область значений функции:

График функции \(f(x)\) ниже оси Ox, поэтому область значений функции \(f(x)\) - это множество всех отрицательных чисел, меньших или равных 4.

3) Интервалы возрастания и убывания функции:

Функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((- \infty, 1)\) и убывает на интервале \((1, + \infty)\).

4) Множество решений неравенства \(f(x) > 0\), \(f(x) < 0\):

На графике функция \(f(x)\) будет положительной при \(x \in (-\infty, -2) \cup (1, 2)\) и отрицательной при \(x \in (-2, 1)\).

Теперь перейдем к третьей задаче.

3. Решите неравенства:

1) \(x^2 - 5x - 36 > 0\)

Для начала, найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 5x - 36 = 0\). Воспользуемся формулой дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169
\]

\(D\) является положительным числом, поэтому уравнение имеет два различных корня:

\[
x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{5 - 13}{2} = -4
\]
\[
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = 9
\]

Теперь рассмотрим интервалы, полученные разбиением числовой прямой с помощью корней уравнения:

\[
(-\infty, -4), \quad (-4, 9), \quad (9, +\infty)
\]

Теперь возьмем точку тестовую точку из каждого интервала и проверим ее значение вместо неравенства.

Выберем точку \(-5\) из интервала \((-\infty, -4)\):

\[
(-5)^2 - 5(-5) - 36 = 25 + 25 - 36 = 14
\]

Точка \(-5\) не удовлетворяет неравенству \(x^2 - 5x - 36 > 0\), поэтому интервал \((-\infty, -4)\) не является решением неравенства.

Теперь выберем точку \(0\) из интервала \((-4, 9)\):

\[
0^2 - 5 \cdot 0 - 36 = -36
\]

Точка \(0\) удовлетворяет неравенству \(x^2 - 5x - 36 > 0\), поэтому интервал \((-4, 9)\) является решением неравенства.

Наконец, выберем точку \(10\) из интервала \((9, +\infty)\):

\[
10^2 - 5 \cdot 10 - 36 = 100 - 50 - 36 = 14
\]

Точка \(10\) не удовлетворяет неравенству \(x^2 - 5x - 36 > 0\), поэтому интервал \((9, +\infty)\) не является решением неравенства.

Итак, множество решений неравенства \(x^2 - 5x - 36 > 0\) это интервал \((-4, 9)\).

Аналогично мы можем решить и остальные неравенства:

3) \(-x^2 + 4.6x - 2.4 > 0\):

Для начала найдем корни уравнения \(-x^2 + 4.6x - 2.4 = 0\). Воспользуемся формулой дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac = 4.6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2.4) = 21.16 - 9.6 = 11.56
\]

Уравнение имеет два различных корня:

\[
x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4.6 - \sqrt{11.56}}{-2} \approx 0.174
\]
\[
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4.6 \sqrt{11.56}}{-2} \approx 4.426
\]

Получаем интервалы:

\[
(-\infty, 0.174), \quad (0.174, 4.426), \quad (4.426, +\infty)
\]

Выбираем тестовые точки:

\[
-1: -(-1)^2 + 4.6 \cdot (-1) - 2.4 = 1 + (-4.6) - 2.4 = -5
\]
\[
1: -1^2 + 4.6 \cdot 1 - 2.4 = -1 + 4.6 - 2.4 = 1.2
\]
\[
5: -5^2 + 4.6 \cdot 5 - 2.4 = -25 + 23 - 2.4 = -4.4
\]

Множество решений неравенства \(-x^2 + 4.6x - 2.4 > 0\) это интервал \((0.174, 4.426)\).

5) \(4x^2 - 16x > 0\):

Для начала решим квадратное уравнение \(4x^2 - 16x = 0\). Выносим общий множитель:

\[
4x(x - 4) = 0
\]

Таким образом, \(x = 0\) или \(x = 4\). Получаем интервалы:

\[
(-\infty, 0), \quad (0, 4), \quad (4, +\infty)
\]

Выбираем тестовые точки:

\[
-1: 4(-1)^2 - 16(-1) = 4 + 16 = 20
\]
\[
1: 4 \cdot 1^2 - 16 \cdot 1 = 4 - 16 = -12
\]
\[
5: 4 \cdot 5^2 - 16 \cdot 5 = 100 - 80 = 20
\]

Множество решений неравенства \(4x^2 - 16x > 0\) это объединение интервалов \((-\infty, 0) \cup (4, +\infty)\).

Я надеюсь, что ясно объяснил решение задачи и ответил на все вопросы.