1. Постройте на четырех разных чертежах следующее: а) Треугольник А, В, С, который является симметричным треугольнику

Сверкающий_Джинн

54

Для решения каждого из этих пунктов задачи, нам понадобится использование геометрических преобразований и координатных плоскостей. Давайте рассмотрим каждый пункт по очереди.

а) Чтобы построить симметричный треугольник ABC относительно точки D(1; -1), мы должны отразить каждую точку треугольника ABC относительно этой точки. Для этого нужно применить следующие шаги:

1. Найдем координаты отраженных точек A", B" и C", используя формулы для отражения точки относительно заданной точки D:

\[ A"(x", y") = 2D - A(x, y) \]
\[ B"(x", y") = 2D - B(x, y) \]
\[ C"(x", y") = 2D - C(x, y) \]

2. Подставим координаты точек треугольника ABC и точки отражения D в указанные формулы:

Для точки A:
\[ A"(x", y") = 2(1, -1) - A(x, y) \]

Для точки B:
\[ B"(x", y") = 2(1, -1) - B(x, y) \]

Для точки C:
\[ C"(x", y") = 2(1, -1) - C(x, y) \]

3. Вычислим координаты отраженных точек:

Для точки A:
\[ A"(x", y") = (2 - x, -1 - y) \]

Для точки B:
\[ B"(x", y") = (2 - x, -1 - y) \]

Для точки C:
\[ C"(x", y") = (2 - x, -1 - y) \]

Теперь мы можем построить полученные точки A", B" и C" на чертеже.

б) Чтобы построить треугольник А, В, С, который является симметричным треугольнику ABC относительно биссектрисы первого и третьего углов координатной плоскости, нужно сделать следующее:

1. Найдем координаты точки пересечения биссектрис треугольника ABC. Пусть точка M(x, y) является такой точкой.

2. Найдем расстояние от точки M до каждой из вершин треугольника ABC. Пусть эти расстояния будут равны d.

3. Найдем точки А", В" и С" путем параллельного переноса точек А, В и С на расстояние d в противоположную сторону от точки M.

Для точки A:
\[ A"(x", y") = (x - d, y - d) \]

Для точки B:
\[ B"(x", y") = (x + d, y - d) \]

Для точки C:
\[ C"(x", y") = (x, y + d) \]

Теперь мы можем построить полученные точки А", В" и С" на чертеже.

в) Чтобы построить треугольник A, B, C, который получается при параллельном переносе треугольника ABC на вектор BC, нужно сделать следующее:

1. Вычислим разность между координатами точек B и C:

\[ BC = (B(x_B, y_B) - C(x_C, y_C)) = ((x_B - x_C), (y_B - y_C)) \]

2. Найдем точки A", B" и C" путем параллельного переноса точек A, B и C на вектор BC.

Для точки A:
\[ A"(x", y") = A(x_A, y_A) + BC \]

Для точки B:
\[ B"(x", y") = B(x_B, y_B) + BC \]

Для точки C:
\[ C"(x", y") = C(x_C, y_C) + BC \]

Теперь мы можем построить полученные точки A", B" и C" на чертеже.

г) Чтобы построить треугольник ABC, который получается при повороте треугольника ABC на 90° по часовой стрелке вокруг точки основания высоты ВН, нужно сделать следующее:

1. Найдем координаты точки ВН. Обозначим их как H(x_H, y_H).

2. Вычислим координаты основания высоты ВН. Обозначим их как N(x_N, y_N). Для этого используем формулы треугольника ABC:

\[ x_N = \frac{{x_A + x_B}}{2} \]
\[ y_N = \frac{{y_A + y_B}}{2} \]

3. Найдем координаты точки, полученной при повороте точки А на 90° по часовой стрелке вокруг точки N. Обозначим эти координаты как A"(x", y").

\[ x" = x_N - (y_A - y_N) \]
\[ y" = y_N + (x_A - x_N) \]

4. Найдем координаты точки, полученной при повороте точки C на 90° по часовой стрелке вокруг точки N. Обозначим эти координаты как C"(x", y").

\[ x" = x_N - (y_C - y_N) \]
\[ y" = y_N + (x_C - x_N) \]

5. Теперь у нас есть координаты точек A", B" и C", и мы можем построить полученные точки на чертеже.

Укажем координаты полученных точек:

A"(\(x_A"\), \(y_A"\))
B"(\(x_B"\), \(y_B"\))
C"(\(x_C"\), \(y_C"\))

Пожалуйста, будьте внимательны и проверьте каждый этап, чтобы избежать ошибок при решении задачи.