1. Постройте все возможные высказывания, используя кванторы в следующем предикате, и определите, какие из них являются

Эльф

30

Хорошо, давайте решим данный учебный вопрос.

1. Для начала, давайте разберемся с предикатом и его выводом. У нас дан следующий предикат:

\((x \in r): x^{2} +2x+1 = (x+1)^{2}\)

Этот предикат утверждает, что для каждого элемента \(x\) из некоторого множества \(r\), уравнение \(x^{2} +2x+1 = (x+1)^{2}\) истинно.

Теперь, чтобы построить все возможные высказывания, используя кванторы, нам нужно определить множество \(r\). Предположим, что \(r\) - это множество всех действительных чисел.

- Высказывание 1: \(\forall x \in \mathbb{R}: x^{2} +2x+1 = (x+1)^{2}\)

Это высказывание использует квантор всеобщности (\(\forall\)), и оно утверждает, что для каждого действительного числа \(x\) данное уравнение истинно.

Чтобы проверить его истинность, нам нужно доказать, что это уравнение верно для всех возможных значений \(x\) из множества \(\mathbb{R}\).

- Высказывание 2: \(\exists x \in \mathbb{R} : x^{2} +2x+1 = (x+1)^{2}\)

Это высказывание использует квантор существования (\(\exists\)), и оно утверждает, что существует хотя бы одно действительное число \(x\), для которого данное уравнение истинно.

Чтобы проверить его истинность, нам нужно найти хотя бы одно значение \(x\), для которого уравнение верно.

Теперь рассмотрим истинность каждого высказывания:

- Высказывание 1 (\(\forall x \in \mathbb{R}: x^{2} +2x+1 = (x+1)^{2}\)) является истинным.

Почему? Так как данное уравнение является элементарным тождеством, оно выполняется для всех действительных чисел \(x\). Мы можем проверить истинность этого утверждения, заметив, что оба выражения \(x^{2} +2x+1\) и \((x+1)^{2}\) равны между собой.

- Высказывание 2 (\(\exists x \in \mathbb{R} : x^{2} +2x+1 = (x+1)^{2}\)) также является истинным.

Почему? Мы можем просто взять одно значение \(x\), например, \(x = 0\), и убедиться, что уравнение \(0^{2} +2 \cdot 0+1 = (0+1)^{2}\) выполняется.

Таким образом, оба предложения являются истинными.

2. Теперь перейдем ко второй задаче.

Предикат \(p(x, y)\) определен на множестве людей и утверждает, что "x является родителем y". Рассмотрим все возможные варианты размещения кванторов в предикате \(p(x, y)\) и опишем полученные высказывания в словесной форме:

- Высказывание 1: \(\forall x \exists y : p(x, y)\)

Это высказывание утверждает, что для каждого человека \(x\) существует хотя бы один человек \(y\) такой, что \(x\) является его родителем. В других словах, каждый человек является родителем хотя бы одного человека.

- Высказывание 2: \(\exists x \forall y : p(x, y)\)

Это высказывание утверждает, что существует хотя бы один человек \(x\), который является родителем всех людей \(y\). В других словах, есть хотя бы один человек, который является родителем всех остальных.

- Высказывание 3: \(\exists x \exists y : p(x, y)\)

Это высказывание утверждает, что существуют хотя бы два человека \(x\) и \(y\), таких, что \(x\) является родителем \(y\). В других словах, есть как минимум два человека, один из которых является родителем другого.

- Высказывание 4: \(\forall x \forall y : p(x, y)\)

Это высказывание утверждает, что для каждого человека \(x\) каждый другой человек \(y\) является его родителем. В других словах, каждый человек является родителем каждого другого человека.

Вот все возможные варианты размещения кванторов в предикате \(p(x, y)\) и их описание.