1. Пожалуйста, определите седьмой элемент разложения (2x-3)^10. 2. Пожалуйста, найдите четвёртый элемент разложения

Panda

36

Конечно! Давайте решим оба задания поочередно.

1. Для определения седьмого элемента разложения \((2x-3)^{10}\) нам понадобится бином Ньютона. Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

\[(a+b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C_n^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n.\]

В данном случае \(a = 2x\) и \(b = -3\). Чтобы найти седьмой элемент, нам нужно найти коэффициент \(C_{10}^6\), так как счет начинается с нуля.

Воспользуемся формулой для вычисления биномиального коэффициента \(C_n^k\):

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}.\]

Итак, вставляем значения \(n = 10\) и \(k = 6\) в формулу:

\[C_{10}^6 = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6! \cdot 4!}.\]

Теперь вычислим значения факториалов:

\[10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! = 30240.\]

Используя то же самое, найдем \(6! = 720\) и \(4! = 24\). Подставим все значения в формулу для биномиального коэффициента:

\[C_{10}^6 = \frac{30240}{720 \cdot 24}.\]

Выполняя вычисления, получим:

\[C_{10}^6 = \frac{30240}{17280} = \frac{5}{3}.\]

Таким образом, седьмой элемент разложения \((2x-3)^{10}\) равен \(\frac{5}{3} \cdot (2x)^4 \cdot (-3)^3\).

2. Для поиска четвёртого элемента разложения \((3\sqrt{a} + \frac{1}{3\sqrt{a}})^n\), также воспользуемся биномом Ньютона. В данном случае \(a\) является переменной, и нам необходимо найти коэффициент при \((3\sqrt{a})^{n-3}\).

Опять же, используем формулу биномиального коэффициента:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}.\]

Здесь \(n\) равно степени разложения, а \(k\) равно номеру элемента, который мы ищем. В данном случае \(n\) неизвестно, поэтому нам нужно использовать свойства степеней.

Поэтому мы сначала разложим \((3\sqrt{a})^n\), а затем возьмем коэффициент при \((3\sqrt{a})^{n-3}\).

\((3\sqrt{a})^n = 3^n \cdot (a)^{\frac{n}{2}}.\)

Теперь наша задача - найти коэффициент при \((3\sqrt{a})^{n-3}\). Для этого сравним степень разложения и номер элемента разложения:

Степень разложения: \(n\)

Номер элемента: \(n-3\)

Таким образом, наш коэффициент будет равен \(C_n^{n-3}\), используя формулу биномиального коэффициента:

\[C_n^{n-3} = \frac{n!}{(n-3)!(n-(n-3))!} = \frac{n!}{(n-3)! \cdot 3!}.\]

Получаем, что четвертый элемент разложения \((3\sqrt{a} + \frac{1}{3\sqrt{a}})^n\) равен \(\frac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} \cdot (3\sqrt{a})^{n-3}\).

Надеюсь, это решение поможет вам! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.