1. Представить графический эскиз функции y=x^(-5). а) Определить область определения и множество значений функции

Мария

4

Хорошо, давайте начнем с представления графического эскиза функции \( y = x^{-5} \).

1. Графический эскиз функции:
Для начала, построим таблицу значений функции \( y = x^{-5} \) для нескольких значений \( x \). Затем мы используем эти значения, чтобы построить график функции.

Таблица значений функции:
\[
\begin{align*}
x & \quad y = x^{-5} \\
-1 & \quad -1^{-5} = -1 \\
-0.5 & \quad (-0.5)^{-5} = -32 \\
0 & \quad 0^{-5} \text{ (неопределено)} \\
0.5 & \quad (0.5)^{-5} = 32 \\
1 & \quad 1^{-5} = 1 \\
2 & \quad 2^{-5} = \frac{1}{32} \\
3 & \quad 3^{-5} \approx 0.0041 \\
\end{align*}
\]

Теперь построим график, используя эти значения:


2. Определение области определения и множества значений функции:
Область определения функции \( y = x^{-5} \) определяется теми значениями \( x \), для которых функция определена. В данном случае, функция определена для всех значений \( x \), отличных от нуля. То есть, область определения функции - это \((-∞, 0) \cup (0, +∞)\).

Множество значений функции определяется теми значениями \( y \), которые функция принимает. В данном случае, функция \( y = x^{-5} \) принимает положительные значения для отрицательных значений \( x \), близких к нулю. При этом, функция также принимает отрицательные значения для положительных значений \( x \), близких к нулю. Таким образом, множество значений функции - это \((-∞, 0) \cup (0, +∞)\).

3. Определение интервалов, на которых функция убывает:
Функция \( y = x^{-5} \) убывает на интервале \((-∞, -1)\) и интервале \((0, 1)\). То есть, значения функции уменьшаются с увеличением значений \( x \) в этих интервалах.

4. Сравнение значений (-5) для чисел (3,2) и (3√2):
Для сравнения значений (-5) для чисел \( (3,2) \) и \( \left(3\sqrt{2}\right) \), подставим эти значения в функцию \( y = x^{-5} \):

Для числа \( x = 3^2 \):
\[
y = \left(3^2\right)^{-5} = \left(9\right)^{-5} = \frac{1}{9^5}
\]

Для числа \( x = \left(3\sqrt{2}\right) \):
\[
y = \left(\left(3\sqrt{2}\right)\right)^{-5} = \left(9\sqrt{2}\right)^{-5} = \frac{1}{\left(9\sqrt{2}\right)^5} = \frac{1}{9^5 \cdot \left(\sqrt{2}\right)^5} = \frac{1}{9^5 \cdot 2^{5/2}}
\]

Таким образом, значение (-5) для числа \( (3,2) \) равно \( \frac{1}{9^5} \), а значение (-5) для числа \( \left(3\sqrt{2}\right) \) равно \( \frac{1}{9^5 \cdot 2^{5/2}} \).