1. Проверьте, эквивалентны ли следующие формулы: p∧(q↔r)≡ p∧q↔p∧r 2. Проверьте правильность следующего логического

Chaynik

55

1. Для проверки эквивалентности данных формул, мы можем сравнить их истинностные таблицы. Начнем с первой формулы \(p \land (q \leftrightarrow r) \equiv p \land q \leftrightarrow p \land r\):

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
p & q & r & q \leftrightarrow r & p \land (q \leftrightarrow r) & p \land q & p \land r & p \land q \leftrightarrow p \land r \\
\hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что значения столбца \(p \land (q \leftrightarrow r)\) и \(p \land q \leftrightarrow p \land r\) совпадают для всех возможных комбинаций значений переменных \(p\), \(q\) и \(r\). Таким образом, первая и вторая формулы эквивалентны.

2. Чтобы проверить правильность данного логического рассуждения, мы можем использовать метод условного заключения и проследить логическую цепочку.

Пусть:
- \(p\) - "Я пойду на первое занятие"
- \(q\) - "Я пойду на дискотеку вечером"
- \(r\) - "Я лягу спать поздно"
- \(s\) - "Я встану рано"
- \(t\) - "У меня будет только пять часов сна"

Исходные условия:
- \(p \rightarrow r\) (Если я пойду на первое занятие, то мне придется рано встать)
- \(q \rightarrow \neg r\) (Если я пойду на дискотеку вечером, то я лягу спать поздно)
- \((\neg r \land s) \rightarrow t\) (Если я лягу спать поздно и встану рано, у меня будет только пять часов сна)

Теперь давайте посмотрим, следует ли из этого, что мне нужно пропустить занятие завтра или не ходить на дискотеку вечером.

Рассуждение:
- Если \(p\) истинно (Я пойду на первое занятие) и из этого следует, что \(r\) истинно (придется рано встать)
- Если \(q\) истинно (Я пойду на дискотеку вечером), то \(\neg r\) истинно (я не лягу спать поздно)
- Из выполнения \((\neg r \land s) \rightarrow t\) следует, что если \(\neg r\) и \(s\) истинны (ладно спать поздно и встать рано), то \(t\) истинно (у меня будет только пять часов сна)

Теперь давайте посмотрим, следует ли из этого, что мне нужно пропустить занятие завтра или не ходить на дискотеку вечером:
- Если я пойду на первое занятие (\(p\) истинно), то мне придется рано встать (\(r\) истинно), но это не противоречит другим условиям.
- Если я пойду на дискотеку вечером (\(q\) истинно), то я лягу спать поздно (\(\neg r\) ложно), но это также не противоречит другим условиям.
- Поскольку ничего не указывает о том, что мне нужно пропустить занятие или не ходить на дискотеку, нет достаточной информации, чтобы сделать такой вывод.

Таким образом, из предоставленных условий нельзя сделать вывод о том, нужно ли мне пропустить занятие завтра или не ходить на дискотеку вечером.

3. Для определения значения предиката, заданного таблицей, мы просто заменим каждую пару значений переменных \(x\) и \(y\) в таблице на соответствующее значение предиката.

По таблице, данной в вашем вопросе, предикат \(p(x, y)\) определен следующим образом:
- \(p(a, a) = 1\)
- \(p(a, b) = 0\)
- \(p(b, a) = 0\)
- \(p(b, b) = 1\)

Таким образом, значение предиката \(p(x, y)\) для \(x, y \in m\) задано этой таблицей.