На каком отрезке [1;2] функция y = 2 * 23/27 + (X - 2)^2 + (X - 2)^3 достигает своего максимального значения?

Polosatik

67

Чтобы найти точку, в которой функция \(y\) достигает своего максимального значения на заданном отрезке \([1;2]\), нам нужно найти максимум функции на этом отрезке.

Для начала, найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Затем приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение для определения критических точек. Наконец, мы проверим значения функции на концах отрезка и в найденных критических точках, чтобы найти максимальное значение функции на заданном отрезке.

1. Найдем производную функции \(y\):
\[y" = 2(x-2) + 3(x-2)^2\]

2. Приравняем производную к нулю:
\[2(x-2) + 3(x-2)^2 = 0\]

3. Решим полученное уравнение:
\[2(x-2) + 3(x^2 - 4x + 4) = 0\]

Упростим уравнение:

\[2x - 4 + 3x^2 - 12x + 12 = 0\]

\[3x^2 - 10x + 8 = 0\]

4. Решим квадратное уравнение:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае, \(a = 3\), \(b = -10\), \(c = 8\). Подставим значения в формулу:

\[x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(8)}}{2(3)}\]

Упростим выражение:

\[x = \frac{10 \pm \sqrt{-20}}{6}\]

Мы получили комплексные корни, что означает, что уравнение не имеет решений на интервале \([1;2]\).

5. Теперь проверим значения функции \(y\) на концах интервала \([1;2]\):
\[y(1) = 2\cdot \frac{23}{27} + (1-2)^2 + (1-2)^3\]
\[y(2) = 2\cdot \frac{23}{27} + (2-2)^2 + (2-2)^3\]

Вычислим значения функции:

\[y(1) = \frac{46}{27} + 1 - 1 = \frac{46}{27}\]
\[y(2) = \frac{46}{27} + 0 = \frac{46}{27}\]

Оба значения функции равны \(\frac{46}{27}\) на концах интервала.

Таким образом, функция \(y = 2\cdot\frac{23}{27} + (x-2)^2 + (x-2)^3\) достигает своего максимального значения \(\frac{46}{27}\) на всем заданном отрезке \([1;2]\).