1. Прямая а пересекает плоскость β в точке С и образует угол 60 градусов с плоскостью. Точка Р принадлежит прямой а

Павел

66

Задача 1:
Мы знаем, что угол между прямой "а" и плоскостью "β" составляет 60 градусов. Поскольку прямая "а" пересекает плоскость "β" в точке "С", то сформируется прямоугольный треугольник "PCR" с прямым углом в точке "C".
Мы также знаем, что длина отрезка "PC" равна 14 см, и мы хотим найти длину отрезка "RC".

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае, отрезок "RC" является гипотенузой треугольника, а отрезок "PC" и неизвестная длина отрезка "PR" являются катетами.

Поэтому, применяя теорему Пифагора, мы можем записать следующее:

\[PR^2 + RC^2 = PC^2\]

Мы знаем, что длина отрезка "PC" равна 14 см, и хотим найти длину отрезка "RC".

Давайте решим это уравнение:
\[PR^2 + RC^2 = 14^2\]

Поскольку "PR" и "RC" являются сторонами прямоугольного треугольника, а отрезок "PC" - его гипотенуза, мы можем использовать пропорцию между сторонами треугольника чтобы найти соотношение между "PR" и "RC".

В силу того, что прямой угол между прямой "а" и плоскостью "β" в точке "С" составляет 60 градусов, у нас будет соотношение:

\(\frac{PR}{PC} = \sin 60^\circ\)

Подставим значения:

\(\frac{PR}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Теперь мы можем выразить "PR" через "PC":
\(PR = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 14 = 7\sqrt{3}\)

Теперь, чтобы найти "RC", мы можем подставить найденное значение "PR" в уравнение Пифагора:
\(7\sqrt{3}^2 + RC^2 = 14^2\)

Упростим это уравнение:
\(63 + RC^2 = 196\)

Теперь найдем значение "RC":
\(RC^2 = 196 - 63 = 133\)
\(RC = \sqrt{133} \approx 11.54\)

Итак, длина отрезка "RC" приближенно равна 11.54 см.

Задача 2:
Когда мы проводим наклонную из точки до плоскости, образуется прямоугольный треугольник. Мы хотим найти расстояние от плоскости до точки, из которой проходит наклонная.

Мы знаем, что длина наклонной равна 26 см, а проекция наклонной на плоскость равна 10 см. Мы обозначим расстояние от плоскости до точки как "h".

Таким образом, в прямоугольном треугольнике гипотенузой будет длина наклонной ("h" + 10 см), катетом будет проекция наклонной на плоскость (10 см), а "h" - неизвестная сторона.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти "h":

\[(h+10)^2 = 26^2 - 10^2\]
\[h^2 + 20h + 100 = 576 - 100\]
\[h^2 + 20h - 476 = 0\]

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью квадратного корня или факторизации. Выполним факторизацию:

\[(h+34)(h-14) = 0\]

Факторизация дает два варианта значений для "h":

h+34 = 0 или h-14 = 0

Отсюда получаем два решения:

h = -34 или h = 14

Так как расстояние не может быть отрицательным, мы отбрасываем решение h = -34.

Таким образом, расстояние "h" от плоскости до точки, из которой проведена наклонная, составляет 14 см.

Задача 3:
В данной задаче у нас есть наклонная "AB" с длиной 8 см и углом 45 градусов между наклонной и плоскостью "α". Мы хотим найти расстояние между плоскостью и наклонной.

Обозначим это расстояние как "h".

Наклонная "AB" и расстояние "h" образуют прямоугольный треугольник, где "AB" является гипотенузой, а "h" и проекция наклонной на плоскость - катеты.

Мы знаем, что угол между наклонной "AB" и плоскостью "α" равен 45 градусам. Этот угол является прямым углом между наклонной и найденным расстоянием "h" от плоскости, поскольку он рисуется перпендикулярно плоскости.

Таким образом, в этом прямоугольном треугольнике, "AB" будет гипотенузой, а "h" и проекция наклонной на плоскость будут катетами.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения "h":

\[h^2 + (\frac{AB}{\sqrt{2}})^2 = AB^2\]
\[h^2 + (\frac{8}{\sqrt{2}})^2 = 8^2\]
\[h^2 + (\frac{8}{\sqrt{2}})^2 = 64\]
\[h^2 + 16 = 64\]
\[h^2 = 64 - 16 = 48\]
\[h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\]

Итак, расстояние между плоскостью и наклонной равно 4\sqrt{3} см.