Докажите, что в 7000 из чисел, свободных от кубов, по меньшей мере одно имеет простого делителя, большего

Анатолий

19

Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом Дирихле.

Предположим, мы проверяем все числа, свободные от кубов, от 1 до 7000 и ни одно из них не имеет простого делителя, большего, чем кубы. Заметим, что мы можем разделить все числа, свободные от кубов, на две категории: числа, являющиеся кубами и числа, которые не являются кубами.

Кубами являются числа вида \(x^3\), где \(x\) - натуральное число. Если мы разделим все числа, от 1 до 7000, на кубы и не кубы, то можем заметить, что количество чисел, являющихся кубами, равно \(\lfloor \sqrt[3]{7000} \rfloor = 19\). Получается, что в промежутке от 1 до 7000 мы имеем 19 кубов.

Однако, всего чисел, свободных от кубов, в данном промежутке равно \(7000 - 19 = 6981\).

Теперь применим принцип Дирихле: если \(n\) предметов разделить на \(m\) категорий, где \(n > m\), то хотя бы одна из категорий будет содержать по крайней мере \(\left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil\) предметов.

В нашем случае, число предметов \(n = 6981\) и число категорий \(m = 6980\). Применяя формулу принципа Дирихле, получаем:

\(\left\lceil \frac{6981}{6980} \right\rceil = 2\)

Таким образом, как минимум в одной из наших категорий, которая не содержит числа-куба, будет по крайней мере два числа. Однако, в этой категории все числа не имеют простых делителей, больших кубов. Противоречие!

Следовательно, наше предположение неверно, и в 7000 чисел, свободных от кубов, по меньшей мере одно имеет простого делителя, большего кубов.

Таким образом, доказательство завершено.