1. Распишите, какие значения может принимать функция у = 3х^4 – 16х^3 + 24х^2 – 11, чтобы определить ее монотонность

Ледяной_Волк

28

1. Для определения монотонности и экстремумов функции \(y = 3x^4 - 16x^3 + 24x^2 - 11\) мы должны исследовать ее производную. Давайте начнем с поиска производной этой функции.

Для нахождения производной функции суммируем производные каждого слагаемого, используя правило дифференцирования для степенных функций и константы:
\[
\frac{d}{dx} (3x^4 - 16x^3 + 24x^2 - 11) = 12x^3 - 48x^2 + 48x
\]

Теперь мы можем найти критические точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем производную к нулю и найдем значения \(x\):
\[
12x^3 - 48x^2 + 48x = 0
\]

Далее, факторизуем это уравнение:
\[
12x(x^2 - 4x + 4) = 0
\]

Мы видим, что одним из решений является \(x = 0\). Для решения \((x^2 - 4x + 4) = 0\) можем использовать квадратное уравнение:
\[
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0
\]

Отсюда получаем решение \(x = 2\).

Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = 0\) и \(x = 2\).

Теперь мы можем определить монотонность функции и экстремумы с помощью производной. Для этого построим таблицу знаков производной и найдем интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & (-\infty, 0) & (0, 2) & (2, \infty)\\
\hline
f"(x) & - & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что функция убывает на интервале \((-\infty, 0)\) и возрастает на интервалах \((0, 2)\) и \((2, \infty)\).

Теперь перейдем к анализу экстремумов. Мы знаем, что экстремумы могут быть только в критических точках \(x = 0\) и \(x = 2\).

Чтобы определить, является ли точка экстремумом, мы можем использовать вторую производную тест или следовать аналитическому подходу.

Возьмем вторую производную функции:
\[
\frac{d^2}{dx^2} (3x^4 - 16x^3 + 24x^2 - 11) = 36x^2 - 96x + 48
\]

Подставим значения \(x = 0\) и \(x = 2\) во вторую производную, чтобы найти значения второй производной в этих точках:
\[
\begin{align*}
\frac{d^2}{dx^2} (3x^4 - 16x^3 + 24x^2 - 11) \bigg|_{x = 0} &= 48 \\
\frac{d^2}{dx^2} (3x^4 - 16x^3 + 24x^2 - 11) \bigg|_{x = 2} &= 12
\end{align*}
\]

Видно, что в обоих точках производная имеет положительные значения. Значит, у нас есть два локальных минимума в точках \(x = 0\) и \(x = 2\).

Таким образом, значения функции \(y = 3x^4 - 16x^3 + 24x^2 - 11\), при которых определяется монотонность и экстремумы, следующие:
- Функция убывает на интервале \((-\infty, 0)\)
- Функция возрастает на интервалах \((0, 2)\) и \((2, \infty)\)
- Функция имеет два локальных минимума в точках \(x = 0\) и \(x = 2\)