1. Сколько интервалов возрастания имеет функция f(х) = х3 – 3х2? А. 1. Б. Ни одного. В. 2. Г. 3 2. Сколько точек

Матвей

70

Хорошо, давайте по порядку решим каждую задачу.

1. Для определения интервалов возрастания функции, мы должны найти значения x, при которых производная функции f(x)=x^3-3x^2 равна нулю. Затем мы проверим знак производной в интервалах между найденными значениями, чтобы определить, какие интервалы являются интервалами возрастания.

Для начала найдем производную функции f(x):
\[f"(x) = 3x^2 - 6x\]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[3x^2 - 6x = 0\]

Вынесем общий множитель:
\[3x(x - 2) = 0\]

Из этого уравнения получаем два решения:
\[x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 2\]

Теперь мы можем провести проверку знака производной на интервалах между этими точками.

Если мы возьмем значение x меньше 0 (x < 0), мы можем подставить, например, x = -1 в производную функции:
\[f"(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 - (-6) = 9 > 0\]

Это означает, что производная положительна на интервале (-∞, 0).

Теперь возьмем значение x между 0 и 2 (0 < x < 2) и снова подставим в производную функции:
\[f"(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0\]

Значит, производная отрицательна на интервале (0, 2).

И, наконец, для значения x больше 2 (x > 2):
\[f"(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0\]

Таким образом, производная положительна на интервале (2, +∞).

Исходя из результатов проверки знаков производной, мы можем сделать вывод, что функция f(x) = x^3 - 3x^2 возрастает на двух интервалах: интервал (-∞, 0) и интервал (2, +∞).

Ответ: Вариант В. 2.

2. Чтобы найти точки экстремума функции, мы должны найти значения x, при которых производная функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x равна нулю. Эти точки будут представлять собой локальные минимумы или максимумы функции.

Сначала найдем производную функции f(x):
\[f"(x) = 3x^2 - 12x + 9\]

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[3x^2 - 12x + 9 = 0\]

Это уравнение может быть сокращено:
\[x^2 - 4x + 3 = 0\]

И факторизовано:
\[(x - 1)(x - 3) = 0\]

Отсюда получаем два решения:
\[x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = 3\]

Теперь мы можем провести проверку знака производной на интервалах между этими точками.

Если мы возьмем значение x меньше 1 (x < 1), мы можем подставить, например, x = 0 в производную функции:
\[f"(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0\]

Это означает, что производная положительна на интервале (-∞, 1).

Теперь возьмем значение x между 1 и 3 (1 < x < 3) и снова подставим в производную функции:
\[f"(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = -3 < 0\]

Таким образом, производная отрицательна на интервале (1, 3).

И, наконец, для значения x больше 3 (x > 3):
\[f"(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 9 > 0\]

Поэтому производная положительна на интервале (3, +∞).

Исходя из результатов проверки знаков производной, мы можем сделать вывод, что функция f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x имеет две точки экстремума.

Ответ: Вариант Г. 2.

3. Чтобы найти значение функции у = 2х2 - 8х + 11 в точке минимума, нам нужно найти абсциссу точки экстремума.

Для этого найдем производную функции:
\[f"(x) = 4x - 8\]

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[4x - 8 = 0\]

Решая это уравнение, получим:
\[x = 2\]

Теперь, чтобы найти значение функции в точке минимума, подставим x = 2 в исходную функцию:
\[f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 11 = 8 - 16 + 11 = 3\]

Ответ: Вариант Г. Значение функции у = 2х2 - 8х + 11 в точке минимума равно 3.

4. Чтобы найти сумму абсцисс точек экстремума функции f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 4, мы сначала найдем абсциссы этих точек.

Для этого снова найдем производную функции:
\[f"(x) = 3x^2 - 6x - 9\]

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[3x^2 - 6x - 9 = 0\]

Это уравнение может быть сокращено:
\[x^2 - 2x - 3 = 0\]

И факторизовано:
\[(x - 3)(x + 1) = 0\]

Отсюда получаем два решения:
\[x_1 = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = -1\]

Теперь мы можем найти сумму абсцисс:
\[x_1 + x_2 = 3 + (-1) = 2\]

Ответ: Вариант Г. Сумма абсцисс точек экстремума функции f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 4 равна 2.

5. Чтобы найти точку минимума функции f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x - 5, мы снова должны найти абсциссу точки экстремума.

Для этого найдем производную функции:
\[f"(x) = 6x^2 - 30x + 36\]

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[6x^2 - 30x + 36 = 0\]

Это уравнение может быть сокращено:
\[x^2 - 5x + 6 = 0\]

И факторизовано:
\[(x - 2)(x - 3) = 0\]

Отсюда получаем два решения:
\[x_1 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = 3\]

Теперь мы можем найти точку минимума, подставив x = 2 в исходную функцию:
\[f(2) = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 36(2) - 5 = 16 - 60 + 72 - 5 = 23\]

Ответ: Вариант Б. Точкой минимума функции f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x - 5 является 23.

Теперь перейдем к следующей части задания. Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс через точку x₀ графика функции, мы должны взять производную функции и вычислить ее значение в точке x₀.

Задайте значение x₀, и я помогу вам найти тангенс угла наклона касательной.