1) Сколько пирожков находится на столе, если из них 7 с мясом, 2 с капустой и 3 с картошкой, и Аня выбирает 3 случайных

Vechernyaya_Zvezda

39

1) Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и принцип умножения. Всего на столе находится 7 пирожков с мясом, 2 пирожка с капустой и 3 пирожка с картошкой.

Чтобы найти вероятность того, что Аня выберет 1 пирожок с мясом и 2 пирожка с картошкой, нам нужно определить количество благоприятных исходов и разделить его на общее количество возможных исходов.

Количество возможных исходов можно определить по формуле комбинаторики: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\), где \(n\) - общее количество пирожков, а \(k\) - количество выбранных пирожков.

Таким образом:
- Количество благоприятных исходов: выбрать 1 пирожок с мясом из 7 и 2 пирожка с картошкой из 3. Это можно выразить как \(C_7^1 \cdot C_3^2 = 7 \cdot \frac{{3!}}{{2!(3-2)!}} = 7 \cdot 3 = 21\).
- Общее количество возможных исходов: выбрать 3 пирожка из общего количества на столе, то есть \(C_{7+2+3}^3 = C_{12}^3 = \frac{{12!}}{{3!(12-3)!}} = \frac{{12!}}{{3! \cdot 9!}} = 220\).

Теперь, чтобы найти вероятность, мы делим количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов: \(\frac{{21}}{{220}}\).

Таким образом, вероятность того, что 1 пирожок будет с мясом, а 2 - с картошкой, составляет \(\frac{{21}}{{220}}\) или около 0.095.

2) В этой задаче мы можем использовать биномиальное распределение для вычисления вероятности попадания на мишень. Вероятность попадания по мишени равна 0.4, а стрелок делает 4 выстрела.

Для определения вероятности того, что стрелок попадет только первыми двумя выстрелами, мы можем использовать формулу для биномиального распределения: \(P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\), где \(X\) - количество успешных исходов, \(k\) - количество успешных попаданий, \(n\) - общее количество испытаний, а \(p\) - вероятность успешного исхода.

В нашем случае:
- Количество успешных исходов: попадание на мишень первыми двумя выстрелами, то есть \(k = 2\).
- Общее количество испытаний: 4 выстрела, то есть \(n = 4\).
- Вероятность успешного исхода: 0.4, то есть \(p = 0.4\).

Теперь мы можем вычислить вероятность с помощью данной формулы: \(P(X=2) = C_4^2 \cdot 0.4^2 \cdot (1-0.4)^{4-2}\).

Расчитаем отдельные значения:
- Количество успешных исходов: \(C_4^2 = \frac{{4!}}{{2!(4-2)!}} = 6\).
- Вероятность успешного исхода: \(0.4^2 = 0.16\).
- Вероятность неуспешного исхода: \((1-0.4)^{4-2} = 0.36^2 = 0.1296\).

Теперь подставим значения в формулу: \(P(X=2) = 6 \cdot 0.16 \cdot 0.1296\).

Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет только первыми двумя выстрелами, составляет примерно 0.124 или около 12.4%.

3) Чтобы определить количество возможных рассадок людей в кабинете, мы можем использовать принцип умножения. На каждый стул может сесть один человек, и каждый раз мы выбираем одного человека из группы из 9 человек.

Мы можем использовать перестановки для подсчета количества возможных рассадок. Формула для нахождения количества перестановок из \(n\) элементов равна \(n!\).

Таким образом, количество возможных рассадок будет равно \(9!\).

Поэтому количество возможных рассадок людей в кабинете равно 362880.

4) Чтобы определить вероятность того, что Петя и Миша будут дежурить, мы можем использовать комбинаторику и принцип умножения.

Общее количество способов выбрать 5 человек из 25 для дежурства можно определить по формуле комбинаторики: \(C_{25}^5 = \frac{{25!}}{{5!(25-5)!}}\), где \(25\) - общее количество учеников, а \(5\) - количество выбираемых учеников для дежурства.

Чтобы найти вероятность того, что Петя и Миша будут дежурить, мы должны найти количество благоприятных исходов, при которых Петя и Миша будут выбраны для дежурства, и разделить его на общее количество возможных исходов.

Количество благоприятных исходов: выбрать Петю и Мишу из 25 человек и выбрать еще 3 человека из оставшихся 23. Это можно выразить как \(C_2^1 \cdot C_{23}^3 = 2 \cdot \frac{{23!}}{{3!(23-3)!}} = 2 \cdot \frac{{23!}}{{3! \cdot 20!}} = 2 \cdot \frac{{23!}}{{3! \cdot 20!}} = 2 \cdot \frac{{23 \cdot 22 \cdot 21}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 2538\).

Общее количество возможных исходов: выбрать 5 человек из 25, то есть \(C_{25}^5\).

Теперь, чтобы найти вероятность, мы делим количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов: \(\frac{{2538}}{{C_{25}^5}}\).

Таким образом, мы можем рассчитать вероятность того, что Петя и Миша будут дежурить, используя данную формулу.