1) Сколько существует способов распределить n различных открыток в k различных конвертах, где все конверты не пусты?

Zvezdnaya_Noch

62

1) Рассмотрим первую задачу. Нам нужно распределить \(n\) различных открыток в \(k\) различных конвертах так, чтобы все конверты были заполнены.

Для решения этой задачи можно использовать принцип умножения. Представим каждую открытку как последовательность из \(k\) символов, где каждый символ представляет номер конверта, в который будет положена данная открытка. Таким образом, у нас будет \(k^n\) возможных комбинаций размещения открыток.

Однако, в данных комбинациях у нас присутствуют недопустимые варианты, в которых есть пустые конверты. Чтобы исключить эти варианты, мы можем воспользоваться принципом включения-исключения.

Обозначим через \(A_i\) событие, что \(i\)-ый конверт остался пустым. Тогда число вариантов, в которых хотя бы один конверт остался пустым, можно найти с помощью принципа включения-исключения.

По формуле включения-исключения, число недопустимых вариантов будет равно:

\[
|A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k| = \sum_{i=1}^{k} (-1)^{i+1} \binom{k}{i} (k-i)^n
\]

где \(\binom{k}{i}\) обозначает количество способов выбрать \(i\) конвертов из \(k\), а \((k-i)^n\) - количество способов разместить открытки в выбранных конвертах с учетом того, что выбранные конверты остаются пустыми.

Тогда, искомое количество способов распределения открыток в не пустые конверты будет равно:

\[
k^n - |A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k|
\]

Теперь, подставим значения из условия задачи. Пусть \(n = 8\) и \(k = 3\). Выполним вычисления шаг за шагом:

\[
\begin{align*}
&|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = (-1)^{1+1} \binom{3}{1} (3-1)^8 + (-1)^{2+1} \binom{3}{2} (3-2)^8 + (-1)^{3+1} \binom{3}{3} (3-3)^8 \\
&= -3^8 + 3 \cdot 1^8 - 3 \cdot 0^8 = -3^8 + 3 \\
&k^n - |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 3^8 - (-3^8 + 3) = 3^8 + 3^8 - 3
\end{align*}
\]

Таким образом, количество способов распределить 8 различных открыток в 3 различных конвертах, где все конверты не пусты, равно \(3^8 + 3^8 - 3\).

2) Пройдемся далее второй задаче. Нам нужно распределить \(n\) различных открыток в \(k\) неразличимых конвертах так, чтобы все конверты были заполнены.

Для решения этой задачи можно воспользоваться методом сочетаний с повторениями, так как открытки одинаковые по своей природе, а конверты неразличимы.

Количество способов распределения открыток можно описать следующей формулой:

\[
\binom{n+k-1}{k-1}
\]

где \(n\) - количество открыток, \(k\) - количество конвертов.

Подставим в данную формулу значения \(n = 8\) и \(k = 3\):

\[
\binom{8+3-1}{3-1} = \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!8!} = 45
\]

Таким образом, количество способов распределить 8 различных открыток в 3 неразличимых конвертах, где все конверты не пусты, равно 45.

3) Продолжим с третьей задачей. Нам нужно распределить \(n\) различных открыток в \(k\) различных конвертах так, чтобы допускались пустые конверты.

Для решения этой задачи можно использовать комбинации с повторениями. Каждую открытку мы можем положить в любой из \(k\) конвертов, включая пустые.

Таким образом, количество способов распределения открыток в конверты будет равно:

\[
k^n
\]

Подставим в данную формулу значения \(n = 8\) и \(k = 3\):

\[
3^8 = 6561
\]

Таким образом, количество способов распределить 8 различных открыток в 3 различных конвертах, где допускаются пустые конверты, равно 6561.

4) И, наконец, рассмотрим четвертую задачу. Нам нужно распределить \(n\) различных открыток в \(k\) неразличимых конвертах так, чтобы допускались пустые конверты.

Для решения этой задачи, мы можем использовать разбиения числа. Задача сводится к разбиению числа \(n\) на \(k\) слагаемых, где каждое слагаемое - количество открыток в конкретном конверте.

Поскольку конверты неразличимы, нам интересны только разбиения числа на слагаемые без учета порядка слагаемых. Таким образом, мы можем использовать формулу числа разбиений числа на слагаемые:

\[
p(n, k)
\]

Подставим в данную формулу значения \(n = 8\) и \(k = 3\):

\[
p(8, 3) = 22
\]

Таким образом, количество способов распределить 8 различных открыток в 3 неразличимых конвертах, где допускаются пустые конверты, равно 22.