1. Сколько вариантов выбора 2 красок можно получить из набора из 20 красок? 2. Сколько способов составить букет из трех

Solnechnaya_Luna

39

Рад приветствовать вас на уроке, где мы будем решать комбинаторные задачи. Давайте решим каждую задачу по очереди, пошагово и обоснуем наши ответы.

1. В данной задаче требуется выбрать 2 краски из 20-ти доступных. Мы можем использовать комбинаторный метод и применить формулу сочетаний без повторений. Формула для нахождения числа сочетаний задается следующим образом:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]
где \(C_n^k\) обозначает число сочетаний из n элементов по k.

Применим эту формулу к нашей задаче:
\[C_{20}^2 = \frac{{20!}}{{2! \cdot (20-2)!}}\]

\[C_{20}^2 = \frac{{20!}}{{2! \cdot 18!}}\]

\[C_{20}^2 = \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18!}}{{2! \cdot 18!}}\]

\[C_{20}^2 = \frac{{20 \cdot 19}}{{2!}}\]

\[C_{20}^2 = \frac{{380}}{{2}}\]

\[C_{20}^2 = 190\]

Таким образом, можно получить 190 вариантов выбора 2 красок из набора из 20 красок.

2. В этой задаче требуется определить количество способов составить букет из трех роз разного цвета, если имеется шесть роз разного цвета. В данном случае применим комбинаторный метод и воспользуемся формулой сочетаний без повторений:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Применим формулу к нашей задаче:
\[C_6^3 = \frac{{6!}}{{3! \cdot (6-3)!}}\]

\[C_6^3 = \frac{{6!}}{{3! \cdot 3!}}\]

\[C_6^3 = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

\[C_6^3 = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

\[C_6^3 = 20\]

Таким образом, у нас есть 20 способов составить букет из трех роз разного цвета.

3. В данной задаче требуется найти количество способов выбрать четыре книги из 10 учебников и словаря на полке. Здесь важно отметить, что мы выбираем 4 книги, и словарь обязательно должен быть одной из выбранных. Мы можем применить комбинаторный метод и воспользоваться формулой сочетаний без повторений, учитывая, что словарь входит в выборку:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Применим эту формулу к нашей задаче:
\[C_{10}^4 = \frac{{10!}}{{4! \cdot (10-4)!}}\]

\[C_{10}^4 = \frac{{10!}}{{4! \cdot 6!}}\]

\[C_{10}^4 = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{4! \cdot 6!}}\]

\[C_{10}^4 = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4!}}\]

\[C_{10}^4 = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

\[C_{10}^4 = 210\]

Таким образом, у нас есть 210 способов выбрать четыре книги, включая словарь, из 10 учебников и словаря, находящихся на полке.

4. В этой задаче требуется определить количество вариантов выбора четырех книг без словаря из 15 книг, находящихся на полке. Мы можем применить комбинаторный метод и использовать формулу сочетаний без повторений:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Применим формулу к нашей задаче:
\[C_{15}^4 = \frac{{15!}}{{4! \cdot (15-4)!}}\]

\[C_{15}^4 = \frac{{15!}}{{4! \cdot 11!}}\]

\[C_{15}^4 = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}}{{4! \cdot 11!}}\]

\[C_{15}^4 = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}}{{4!}}\]

\[C_{15}^4 = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

\[C_{15}^4 = 1365\]

Таким образом, у нас есть 1365 вариантов выбора четырех книг без словаря из 15 книг на полке.

5. В данной задаче требуется определить количество способов выбрать 4 мальчика и 2 девочки для выполнения шефской работы в классе, где есть 7 мальчиков и 16 девочек. Мы можем применить комбинаторный метод и использовать формулу сочетаний без повторений:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Применим эту формулу к нашей задаче:
\[C_{7}^4 \cdot C_{16}^2 = \frac{{7!}}{{4! \cdot (7-4)!}} \cdot \frac{{16!}}{{2! \cdot (16-2)!}}\]

\[C_{7}^4 \cdot C_{16}^2 = \frac{{7!}}{{4! \cdot 3!}} \cdot \frac{{16!}}{{2! \cdot 14!}}\]

\[C_{7}^4 \cdot C_{16}^2 = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}}{{4! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \cdot \frac{{16 \cdot 15 \cdot 14!}}{{2 \cdot 1 \cdot 14!}}\]

\[C_{7}^4 \cdot C_{16}^2 = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} \cdot \frac{{16 \cdot 15}}{{2 \cdot 1}}\]

\[C_{7}^4 \cdot C_{16}^2 = 7 \cdot 5 \cdot 16 \cdot 15\]

\[C_{7}^4 \cdot C_{16}^2 = 8400\]

Таким образом, у нас есть 8400 способов выбрать 4 мальчика и 2 девочки для выполнения шефской работы в классе, где имеется 7 мальчиков и 16 девочек.

Надеюсь, что решение было понятным и полезным для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.