Решите уравнение для каждого значения параметра а: x + 8a / x

Ледяной_Самурай_7848

26

Хорошо, давайте разберемся с решением этой задачи пошагово.

У нас есть уравнение: \(x + \frac{8a}{x}\)

Для каждого значения параметра \(a\), мы хотим найти значение \(x\), удовлетворяющее этому уравнению.

Давайте начнем с простейшего случая, когда \(a\) равно нулю. Подставим \(a = 0\) в уравнение и решим его:

\(x + \frac{8 \cdot 0}{x} = x + 0 = x\)

Таким образом, если \(a = 0\), то уравнение превращается в \(x = x\), что верно для любого значения \(x\).

Теперь рассмотрим случай, когда \(a\) не равно нулю. Давайте продолжим решение.

Умножим оба выражения на \(x\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(x \cdot x + 8a = x^2 + 8a\)

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\(x^2 - x + 8a = 0\)

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно \(x\). Мы можем решить его с помощью формулы дискриминанта:

Дискриминант (\(D\)) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле: \(D = b^2 - 4ac\)

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -1\), и \(c = 8a\), поэтому:

\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8a = 1 - 32a\).

Теперь, в зависимости от значения дискриминанта, мы можем определить, сколько действительных корней у нашего уравнения:

1. Если \(D > 0\), то у уравнения есть два различных действительных корня.
2. Если \(D = 0\), то у уравнения есть один действительный корень (корень кратности 2).
3. Если \(D < 0\), то у уравнения нет действительных корней.

Теперь давайте рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Если \(D > 0\):

В этом случае, дискриминант \(D = 1 - 32a\) должен быть больше нуля. Решим это неравенство:

\(1 - 32a > 0\)

Решая это неравенство, получаем:

\(a < \frac{1}{32}\)

То есть, если \(a < \frac{1}{32}\), уравнение имеет два различных действительных корня. Чтобы найти сами корни, мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения.

2. Если \(D = 0\):

В этом случае, дискриминант \(D = 1 - 32a\) должен быть равен нулю. Решим это уравнение:

\(1 - 32a = 0\)

Из этого уравнения мы можем найти значение параметра \(a\), при котором уравнение имеет один действительный корень.

3. Если \(D < 0\):

В этом случае, дискриминант \(D = 1 - 32a\) должен быть меньше нуля. Решая это неравенство, мы не получим никаких действительных корней.

Таким образом, чтобы решить уравнение \(x + \frac{8a}{x}\) для каждого значения параметра \(a\), мы должны рассмотреть три случая:

1. Если \(a < \frac{1}{32}\), то уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Если \(a = \frac{1}{32}\), то уравнение имеет один действительный корень.
3. Если \(a > \frac{1}{32}\), то уравнение не имеет действительных корней.

Пожалуйста, укажите, какое значение \(a\) вас интересует, чтобы я мог дать вам конкретное решение для этого значения.