Решите уравнение для каждого значения параметра а: x + 8a / x

Ледяной_Самурай_7848

26

Хорошо, давайте разберемся с решением этой задачи пошагово.

У нас есть уравнение: $x+\frac{8a}{x}$

Для каждого значения параметра $a$, мы хотим найти значение $x$, удовлетворяющее этому уравнению.

Давайте начнем с простейшего случая, когда $a$ равно нулю. Подставим $a=0$ в уравнение и решим его:

$x+\frac{8\cdot 0}{x}=x+0=x$

Таким образом, если $a=0$, то уравнение превращается в $x=x$, что верно для любого значения $x$.

Теперь рассмотрим случай, когда $a$ не равно нулю. Давайте продолжим решение.

Умножим оба выражения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x\cdot x+8a=x^2+8a$

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

$x^2-x+8a=0$

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно $x$. Мы можем решить его с помощью формулы дискриминанта:

Дискриминант ($D$) квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле: $D=b^2-4ac$

В нашем случае $a=1$, $b=-1$, и $c=8a$, поэтому:

$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot 8a=1-32a$.

Теперь, в зависимости от значения дискриминанта, мы можем определить, сколько действительных корней у нашего уравнения:

1. Если $D>0$, то у уравнения есть два различных действительных корня.
2. Если $D=0$, то у уравнения есть один действительный корень (корень кратности 2).
3. Если $D<0$, то у уравнения нет действительных корней.

Теперь давайте рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Если $D>0$:

В этом случае, дискриминант $D=1-32a$ должен быть больше нуля. Решим это неравенство:

$1-32a>0$

Решая это неравенство, получаем:

$a<\frac{1}{32}$

То есть, если $a<\frac{1}{32}$, уравнение имеет два различных действительных корня. Чтобы найти сами корни, мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения.

2. Если $D=0$:

В этом случае, дискриминант $D=1-32a$ должен быть равен нулю. Решим это уравнение:

$1-32a=0$

Из этого уравнения мы можем найти значение параметра $a$, при котором уравнение имеет один действительный корень.

3. Если $D<0$:

В этом случае, дискриминант $D=1-32a$ должен быть меньше нуля. Решая это неравенство, мы не получим никаких действительных корней.

Таким образом, чтобы решить уравнение $x+\frac{8a}{x}$ для каждого значения параметра $a$, мы должны рассмотреть три случая:

1. Если $a<\frac{1}{32}$, то уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Если $a=\frac{1}{32}$, то уравнение имеет один действительный корень.
3. Если $a>\frac{1}{32}$, то уравнение не имеет действительных корней.

Пожалуйста, укажите, какое значение $a$ вас интересует, чтобы я мог дать вам конкретное решение для этого значения.