Определите интервалы возрастания и убывания квадратичной функции f(x) = (x - 6)² + 8 с использованием таблицы изменений

Kosmicheskiy_Astronom_8017

65

Хорошо, давайте начнем с определения интервалов возрастания и убывания для данной квадратичной функции \(f(x) = (x - 6)^2 + 8\). Чтобы это сделать, мы можем использовать таблицу изменений функции в зависимости от изменения аргумента.

1. Для начала составим таблицу значений функции, используя различные значения аргумента \(x\), чтобы понять, как меняется функция \(f(x)\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
2 & (2 - 6)^2 + 8 \\
3 & (3 - 6)^2 + 8 \\
4 & (4 - 6)^2 + 8 \\
5 & (5 - 6)^2 + 8 \\
6 & (6 - 6)^2 + 8 \\
7 & (7 - 6)^2 + 8 \\
8 & (8 - 6)^2 + 8 \\
\hline
\end{array}
\]

Вычислим значения функции \(f(x)\) для каждого значения \(x\) и запишем их в таблицу:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
2 & 12 \\
3 & 11 \\
4 & 12 \\
5 & 15 \\
6 & 8 \\
7 & 11 \\
8 & 16 \\
\hline
\end{array}
\]

2. Теперь, посмотрев на значения функции в таблице, мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции.

Интервал возрастания функции - это промежуток значений аргумента, при которых функция растет. Из таблицы мы видим, что значения функции \(f(x)\) увеличиваются от \(x = 3\) до \(x = 5\) и от \(x = 7\) до \(x = 8\). Можно записать интервалы возрастания как \((3, 5)\) и \((7, 8)\).

Интервал убывания функции - это промежуток значений аргумента, при которых функция убывает. Из таблицы мы видим, что значения функции \(f(x)\) убывают от \(x = 2\) до \(x = 3\) и от \(x = 5\) до \(x = 7\). Можно записать интервалы убывания как \((2, 3)\) и \((5, 7)\).

3. Наконец, мы можем визуализировать интервалы возрастания и убывания на числовой прямой. Поместим точки на числовую прямую, представляющую значения аргумента, и используем стрелки для обозначения интервалов возрастания и убывания:

\[
\begin{array}{cccccccccccccccccccc}
\cdots & \rightarrow & (2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8) & \rightarrow & \cdots \\
& & \downarrow & \downarrow & \uparrow & \uparrow & & \uparrow & \uparrow \\
& & \text{Убывание} & \text{Жесткая постановка} & \text{Возрастание} &
\text{Возрастание} & \text{Возрастание} & \text{Возрастание} &\text{Возрастание} \\
\end{array}
\]

Таким образом, интервалы возрастания и убывания функции \(f(x) = (x - 6)^2 + 8\) можно записать как \((3, 5)\), \((7, 8)\), \((2, 3)\) и \((5, 7)\), соответственно.