1. Сколько вариантов выбора 3 яблок из ящика с 9 яблоками? 2. Сколько способов купить 6 открыток из трех видов

Vechnyy_Moroz

34

1. Чтобы найти количество вариантов выбора 3 яблок из ящика, мы можем использовать концепцию комбинаторики, а именно формулу для количества сочетаний. Формула для сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) элементов выглядит следующим образом:
\[C(n,k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]
где \(n!\) - факториал числа \(n\).

В данном случае \(n = 9\) (количество яблок в ящике) и \(k = 3\) (количество выбираемых яблок). Подставляем значения в формулу:
\[C(9,3) = \frac{{9!}}{{3!(9-3)!}} = \frac{{9!}}{{3!6!}}\]

Выполняем вычисления:
\[C(9,3) = \frac{{9 \times 8 \times 7 \times 6!}}{{3! \times 6!}} = \frac{{9 \times 8 \times 7}}{{3 \times 2 \times 1}} = 84\]

Таким образом, есть 84 варианта выбрать 3 яблока из ящика с 9 яблоками.

2. Чтобы найти количество способов купить 6 открыток из трех видов, мы можем использовать снова формулу для количества сочетаний. В этом случае у нас есть 3 видов открыток и мы выбираем 6 открыток.

Подставляем значения в формулу:
\[C(3,6) = \frac{{3!}}{{6!(3-6)!}} = \frac{{3!}}{{6!(-3)!}}\]

Обратите внимание, что \(-3\) факториал не определен, поскольку факториал отрицательного числа не имеет смысла. Это означает, что существует 0 способов купить 6 открыток из трех видов, продающихся на почте.

3. Чтобы найти количество различных комбинаций карточек, которые можно вытащить из корзины, мы снова можем использовать формулу для количества сочетаний. В данном случае у нас есть 10 карточек, отмеченных числами от 1 до 10, и мы выбираем 4 карточки.

Подставляем значения в формулу:
\[C(10,4) = \frac{{10!}}{{4!(10-4)!}} = \frac{{10!}}{{4!6!}}\]

Выполняем вычисления:
\[C(10,4) = \frac{{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}}{{4! \times 6!}} = \frac{{10 \times 9 \times 8 \times 7}}{{4 \times 3 \times 2 \times 1}} = 210\]

Таким образом, существует 210 различных комбинаций карточек, которые можно вытащить из корзины.

4. Чтобы найти количество способов разделить 7 конфет между 3 друзьями, мы можем использовать концепцию комбинаторики, а именно формулу для количества размещений с повторениями. Формула для размещений с повторениями выглядит следующим образом:
\[A(n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{{(n_1 + n_2 + ... + n_k)!}}{{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}}\]

В данном случае \(n_1 = 7\), \(n_2 = 0\), \(n_3 = 0\). Подставляем значения в формулу:
\[A(7,0,0) = \frac{{(7+0+0)!}}{{7! \cdot 0! \cdot 0!}} = \frac{{7!}}{{7! \cdot 1 \cdot 1}}\]

Выполняем вычисления:
\[A(7,0,0) = \frac{{7!}}{{7!}} = 1\]

Таким образом, есть только 1 способ разделить 7 конфет между 3 друзьями.

5. Чтобы найти количество возможных составов отряда из одного рядового и трех генералов, которые можно сформировать в стране Оз, мы можем использовать концепцию комбинаторики, а именно формулу для количества размещений с повторениями. В данном случае у нас есть 5 рядовых и 50 генералов, и мы выбираем 1 рядового и 3 генерала.

Подставляем значения в формулу:
\[A(5,50,50) = \frac{{(5+50+50)!}}{{5! \cdot 50! \cdot 50!}}\]

Выполняем вычисления:
\[A(5,50,50) = \frac{{105!}}{{5! \cdot 50! \cdot 50!}}\]

Обратите внимание, что вычислить это значение вручную будет довольно сложно из-за большого числа. Часто в таких случаях можно использовать калькулятор или программу для работы с большими числами.

Данный ответ мы можем представить как факториал числа 105, поделенный на произведение факториалов чисел 5 и количество геранловых чисел 50. Это означает, что есть очень большое количество возможных составов отряда из одного рядового и трех генералов в стране Оз, но точное число мы не можем вычислить без использования специальных инструментов или программ.