1. Сколько вариантов выбора 3 яблок из ящика с 9 яблоками? 2. Сколько способов купить 6 открыток из трех видов

Vechnyy_Moroz

34

1. Чтобы найти количество вариантов выбора 3 яблок из ящика, мы можем использовать концепцию комбинаторики, а именно формулу для количества сочетаний. Формула для сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов выглядит следующим образом:
$$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
где $n!$ - факториал числа $n$.

В данном случае $n=9$ (количество яблок в ящике) и $k=3$ (количество выбираемых яблок). Подставляем значения в формулу:
$$C(9,3)=\frac{9!}{3!(9-3)!}=\frac{9!}{3!6!}$$

Выполняем вычисления:
$$C(9,3)=\frac{9\times 8\times 7\times 6!}{3!\times 6!}=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$$

Таким образом, есть 84 варианта выбрать 3 яблока из ящика с 9 яблоками.

2. Чтобы найти количество способов купить 6 открыток из трех видов, мы можем использовать снова формулу для количества сочетаний. В этом случае у нас есть 3 видов открыток и мы выбираем 6 открыток.

Подставляем значения в формулу:
$$C(3,6)=\frac{3!}{6!(3-6)!}=\frac{3!}{6!(-3)!}$$

Обратите внимание, что $-3$ факториал не определен, поскольку факториал отрицательного числа не имеет смысла. Это означает, что существует 0 способов купить 6 открыток из трех видов, продающихся на почте.

3. Чтобы найти количество различных комбинаций карточек, которые можно вытащить из корзины, мы снова можем использовать формулу для количества сочетаний. В данном случае у нас есть 10 карточек, отмеченных числами от 1 до 10, и мы выбираем 4 карточки.

Подставляем значения в формулу:
$$C(10,4)=\frac{10!}{4!(10-4)!}=\frac{10!}{4!6!}$$

Выполняем вычисления:
$$C(10,4)=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{4!\times 6!}=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210$$

Таким образом, существует 210 различных комбинаций карточек, которые можно вытащить из корзины.

4. Чтобы найти количество способов разделить 7 конфет между 3 друзьями, мы можем использовать концепцию комбинаторики, а именно формулу для количества размещений с повторениями. Формула для размещений с повторениями выглядит следующим образом:
$$A(n_1,n_2,...,n_k)=\frac{(n_1+n_2+...+n_k)!}{n_1!\cdot n_2!\cdot ...\cdot n_k!}$$

В данном случае $n_1=7$, $n_2=0$, $n_3=0$. Подставляем значения в формулу:
$$A(7,0,0)=\frac{(7+0+0)!}{7!\cdot 0!\cdot 0!}=\frac{7!}{7!\cdot 1\cdot 1}$$

Выполняем вычисления:
$$A(7,0,0)=\frac{7!}{7!}=1$$

Таким образом, есть только 1 способ разделить 7 конфет между 3 друзьями.

5. Чтобы найти количество возможных составов отряда из одного рядового и трех генералов, которые можно сформировать в стране Оз, мы можем использовать концепцию комбинаторики, а именно формулу для количества размещений с повторениями. В данном случае у нас есть 5 рядовых и 50 генералов, и мы выбираем 1 рядового и 3 генерала.

Подставляем значения в формулу:
$$A(5,50,50)=\frac{(5+50+50)!}{5!\cdot 50!\cdot 50!}$$

Выполняем вычисления:
$$A(5,50,50)=\frac{105!}{5!\cdot 50!\cdot 50!}$$

Обратите внимание, что вычислить это значение вручную будет довольно сложно из-за большого числа. Часто в таких случаях можно использовать калькулятор или программу для работы с большими числами.

Данный ответ мы можем представить как факториал числа 105, поделенный на произведение факториалов чисел 5 и количество геранловых чисел 50. Это означает, что есть очень большое количество возможных составов отряда из одного рядового и трех генералов в стране Оз, но точное число мы не можем вычислить без использования специальных инструментов или программ.