1) Сколько возможных решений имеет данная система уравнений: x+5y+4z+3w=1; 2x-y+2z-w=0; 5x+3y+8z+w=1; 2x+10y+8z+6w=2?

Vechnyy_Put

13

1) Чтобы определить количество возможных решений данной системы уравнений, нам нужно проанализировать её. Используя метод Гаусса или любой другой подход, мы можем привести систему к улучшенному ступенчатому виду или канонической форме. После этого, мы сможем определить количество ненулевых строк и сравнить это с количеством неизвестных переменных.

Давайте приведём данную систему к канонической форме:

\[
\begin{align*}
x + 5y + 4z + 3w &= 1 \\
2x - y + 2z - w &= 0 \\
5x + 3y + 8z + w &= 1 \\
2x + 10y + 8z + 6w &= 2
\end{align*}
\]

Мы можем выполнить некоторые операции, чтобы избавиться от переменных и сделать уравнения более понятными:

\[
\begin{align*}
x + 5y + 4z + 3w &= 1 \\
2x - y + 2z - w &= 0 \\
5x + 3y + 8z + w &= 1 \\
2x + 10y + 8z + 6w &= 2
\end{align*}
\]

Определитель этой системы равен:

\[
\text{det} = \begin{vmatrix} 1 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & -1 & 2 & -1 \\ 5 & 3 & 8 & 1 \\ 2 & 10 & 8 & 6 \end{vmatrix} = -348 \neq 0
\]

Так как определитель не равен нулю, система имеет ровно одно решение (вариант ответа c).

2) Чтобы определить числа, которые могут быть решением данной системы уравнений, нам нужно решить эту систему. Мы можем использовать метод Гаусса, метод Крамера или любой другой подход для нахождения значения переменных x, y и z. Давайте решим эту систему:

\[
\begin{align*}
2x + y + z &= 2 \\
x + y + 3z &= 6 \\
2x + y + 2z &= 5
\end{align*}
\]

Мы можем записать данную систему уравнений в виде матрицы и применить метод Гаусса для решения:

\[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \\
6 \\
5 \\
\end{bmatrix}
\]

Приведём эту систему к ступенчатому виду:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 \\
2 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\]

Мы можем присвоить переменной z любое значение (пусть будет t), тогда x + z = 3 и y + z = 2. Мы можем записать решение в виде:

\[
\begin{align*}
x &= 3 - t \\
y &= 2 - t \\
z &= t
\end{align*}
\]

Проанализируя варианты ответов, мы видим, что вариант (3, 5, 2) не является решением данной системы уравнений. Вариант (2, -5, 3) также не является решением. Однако, вариант (3, -5, 2) является решением данной системы уравнений (вариант ответа c).

Поэтому, верный ответ на второй вопрос: c. (3,-5,2)