Какова площадь равнобедренной трапеции с высотой 24 см, если ее большее основание равно боковой стороне и диагонали

Antonovich_8954

9

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{{(a + b)h}}{2}\]

где S - площадь трапеции, a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Задача говорит, что большее основание равно боковой стороне, поэтому мы можем обозначить это основание как a, и другое основание равно b, где a = b. Мы также знаем, что h = 24 см.

Также в задаче указано, что диагонали трапеции делятся точкой пересечения в соотношении 3:13. Это означает, что отношение длин диагоналей равно 3/13.

Пусть длина более короткой диагонали будет равна x, тогда длина более длинной диагонали будет равна 13x/3.

Мы знаем, что диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника, два из которых являются прямоугольными треугольниками. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины боковой стороны:

\[h^2 = x^2 + \left(\frac{{13x}}{3}\right)^2\]

Решая это уравнение относительно x, мы найдем значение x:

\[h^2 = x^2 + \left(\frac{{169x^2}}{9}\right)\]

\[9h^2 = 9x^2 + 169x^2\]

\[9h^2 = 178x^2\]

\[x^2 = \frac{{9h^2}}{{178}}\]

\[x = \sqrt{\frac{{9h^2}}{{178}}}\]

Теперь, когда мы знаем значение x, мы можем найти основания a и b:

\[a = b = x\]

Трапеция является равнобедренной, поэтому оба основания равны.

Теперь мы можем подставить значения a, b и h в формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{{(a + b)h}}{2}\]

\[S = \frac{{(2a)h}}{2}\]

\[S = ah\]

\[S = xh\]

Подставив значение x, полученное ранее, мы можем выразить площадь трапеции через h:

\[S = \sqrt{\frac{{9h^2}}{{178}}} \cdot h\]

Сокращаем под корнем:

\[S = \frac{{3h}}{{\sqrt{178}}}\]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции с высотой 24 см равна:

\[S = \frac{{3 \cdot 24}}{{\sqrt{178}}} \approx 5.43\] (округленно)

Ответ: Площадь равнобедренной трапеции с высотой 24 см равна примерно 5.43.