1. Solve the algebra test for the 9th grade Equations and Inequalities with One Variable Variant 1 1a) Solve

Igorevich

39

1а) Чтобы решить данное уравнение \(x^3 - 81x = 0\), нужно сначала сгруппировать его слагаемые и вынести общий множитель:

\[x(x^2 - 81) = 0.\]

Обратите внимание, что мы вынесли \(x\) за скобку. Теперь у нас есть произведение двух множителей, одно из которых равно нулю. Чтобы получить равенство нулю, достаточно, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Первый множитель \(x\) может быть равен нулю. То есть, \(x = 0\) является одним из решений уравнения.

Второй множитель \((x^2 - 81)\) равен нулю, если:

\[x^2 - 81 = 0.\]

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации:

\[(x - 9)(x + 9) = 0.\]

Теперь мы получили два уравнения:

1) \(x = 0\);
2) \(x - 9 = 0\) или \(x + 9 = 0\).

Решим второе уравнение:

1) \(x - 9 = 0\) => \(x = 9\);
2) \(x + 9 = 0\) => \(x = -9\).

Таким образом, уравнение \(x^3 - 81x = 0\) имеет три корня: \(x = 0\), \(x = 9\) и \(x = -9\).

1б) Чтобы решить неравенство \(2x^2 - 13x + 6 < 0\), нужно сначала найти корни соответствующего квадратного уравнения \(2x^2 - 13x + 6 = 0\).

Это уравнение можно решить с помощью факторизации или квадратного трехчлена. В данном случае, мы используем факторизацию:

\((2x - 1)(x - 6) = 0.\)

Мы получили два корня: \(x = \dfrac{1}{2}\) и \(x = 6\).

Теперь мы можем построить таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& x < \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} < x < 6 & x > 6 \\
\hline
2x^2 - 13x + 6 & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

Мы хотим найти значения \(x\), при которых неравенство \(2x^2 - 13x + 6 < 0\) будет истинно. То есть, нам нужно найти интервалы, в которых \(2x^2 - 13x + 6\) отрицательно.

Из таблицы знаков видно, что \(2x^2 - 13x + 6 < 0\) в интервале \(\dfrac{1}{2} < x < 6\).

Таким образом, решение неравенства \(2x^2 - 13x + 6 < 0\) можно записать как \(\dfrac{1}{2} < x < 6\).

2а) Чтобы решить неравенство \((x + 8)(x - 4)(x - 7) > 0\), нужно сначала найти корни соответствующего квадратного уравнения \((x + 8)(x - 4)(x - 7) = 0\).

Мы можем найти корни, приравняв каждый из множителей к нулю:

1) \(x + 8 = 0\) => \(x = -8\);
2) \(x - 4 = 0\) => \(x = 4\);
3) \(x - 7 = 0\) => \(x = 7\).

Мы получили три корня: \(x = -8\), \(x = 4\) и \(x = 7\).

Теперь мы можем построить таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& x < -8 & -8 < x < 4 & 4 < x < 7 & x > 7 \\
\hline
(x + 8)(x - 4)(x - 7) & - & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

Мы хотим найти значения \(x\), при которых неравенство \((x + 8)(x - 4)(x - 7) > 0\) будет истинно. То есть, нам нужно найти интервалы, в которых \((x + 8)(x - 4)(x - 7)\) положительно.

Из таблицы знаков видно, что \((x + 8)(x - 4)(x - 7) > 0\) в интервалах \(-8 < x < 4\) и \(7 < x\).

Таким образом, решение неравенства \((x + 8)(x - 4)(x - 7) > 0\) можно записать как \(-8 < x < 4\) или \(x > 7\).

2б) Чтобы решить неравенство \(x^2 > 9\), мы сначала находим корни соответствующего квадратного уравнения \(x^2 = 9\).

Мы можем найти корни, извлекая квадратный корень из обеих сторон:

\[x = \pm\sqrt{9}.\]

Извлекая квадратный корень из 9, мы получаем два корня: \(x = 3\) и \(x = -3\).

Теперь мы можем построить таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& x < -3 & -3 < x < 3 & x > 3 \\
\hline
x^2 - 9 & - & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Мы хотим найти значения \(x\), при которых неравенство \(x^2 > 9\) будет истинно. То есть, нам нужно найти интервалы, в которых \(x^2\) больше 9.

Из таблицы знаков видно, что \(x^2 > 9\) в интервалах \(x < -3\) и \(x > 3\).

Таким образом, решение неравенства \(x^2 > 9\) можно записать как \(x < -3\) или \(x > 3\).

3. Чтобы решить квадратное уравнение биквадрата \(x^4 - 19x^2 + 48 = 0\), мы можем воспользоваться переменной \(y = x^2\).

Заменяя переменную, получаем следующее уравнение:

\[y^2 - 19y + 48 = 0.\]

Теперь мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена:

\[(y - 16)(y - 3) = 0.\]

Мы получили два уравнения:

1) \(y - 16 = 0\) => \(y = 16\);
2) \(y - 3 = 0\) => \(y = 3\).

Теперь мы должны вернуться к исходной переменной \(x\):

1) \(x^2 = 16\) => \(x = \pm\sqrt{16}\) => \(x = \pm 4\);
2) \(x^2 = 3\) => \(x = \pm\sqrt{3}\).

Таким образом, решение биквадратного уравнения \(x^4 - 19x^2 + 48 = 0\) записывается как \(x = -4, 4, -\sqrt{3}, \sqrt{3}\).

4. Чтобы найти значения параметра \(t\) в уравнении \(3x^2 + tx + 3 = 0\), при которых уравнение имеет два корня, нужно рассмотреть дискриминант квадратного уравнения.

Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения.

В данном случае, \(a = 3\), \(b = t\), \(c = 3\).

Условие, когда уравнение имеет два корня, состоит в том, что \(D > 0\).

Подставляем значения коэффициентов в формулу дискриминанта:

\[D = t^2 - 36.\]

Теперь нужно решить неравенство \(t^2 - 36 > 0\).

Мы можем факторизовать это неравенство:

\((t - 6)(t + 6) > 0\).

Теперь мы можем построить таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& t < -6 & -6 < t < 6 & t > 6 \\
\hline
(t - 6)(t + 6) & - & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы знаков видно, что \((t - 6)(t + 6) > 0\) в интервалах \(-6 < t < 6\) и \(t > 6\).

Таким образом, значения параметра \(t\), при которых уравнение \(3x^2 + tx + 3 = 0\) имеет два корня, записывается как \(-6 < t < 6\) или \(t > 6\).

5. Чтобы найти область определения функции, нужно определить значения \(x\), при которых функция имеет смысл. В данном случае, нам дана функция \(y = x^2 - 3x + 1\).

Функция является квадратичной функцией, и для таких функций нет ограничений на область определения. То есть, функция определена для всех значений \(x\).

Таким образом, область определения функции \(y = x^2 - 3x + 1\) - это множество всех действительных чисел.

6. Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций \(y = x^2 - 3x + 1\) и \(y = 0\), нужно приравнять \(y\) к нулю и решить полученное уравнение:

\[x^2 - 3x + 1 = 0.\]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта или факторизации. В данном случае, для упрощения вычислений, воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5.\]

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных действительных корня.

Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

\[x = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)} = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}.\]

Таким образом, координаты точек пересечения графиков функций \(y = x^2 - 3x + 1\) и \(y = 0\) - это точки \(\left(\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0\right)\) и \(\left(\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0\right)\).