Какие три натуральных числа, их произведение которых втрое больше среднего числа в этой последовательности?

Raisa

44

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть наши три натуральных числа - это a, b и c.

1. Сначала нужно составить уравнение по условию задачи. У нас есть две важные информации: произведение чисел должно быть втрое больше среднего числа, и все числа являются натуральными. Используем эти данные для составления уравнения.

Условие: \(a \cdot b \cdot c = 3 \cdot \frac{a + b + c}{3}\)

2. Далее упростим это уравнение, умножив обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

\(3 \cdot a \cdot b \cdot c = a + b + c\)

3. Мы хотим найти три натуральных числа, которые удовлетворяют этому уравнению. Давайте начнем перебор с наименьших натуральных чисел и найдем те, которые удовлетворяют условию.

Попробуем суммировать числа a, b и c, начиная от 1 до понятия, около какого числа следует остановиться, пока мы не найдем требуемые числа.

4. Однако, чтобы упростить вычисления и избежать бесконечного перебора, можем предположить, что наименьшее число a равно 1.

Теперь подставим a = 1 в уравнение и выразим остальные числа b и c через a.

\(3 \cdot 1 \cdot b \cdot c = 1 + b + c\)

5. Продолжая упрощение уравнения, можно выразить b + c через b:

\(3 \cdot b \cdot c = 1 + b + c\)

6. Далее, выразим одну переменную через другую. Выразим c через b:

\(3 \cdot b \cdot (b+c) = 1 + b + (b+c)\)

\(3 \cdot b^2 + 3 \cdot b \cdot c = 1 + 2 \cdot b + c\)

\(3 \cdot b^2 + 3 \cdot b \cdot c - 2 \cdot b - c = 1\)

7. Теперь найдем значения b и c, которые удовлетворяют этому уравнению. Мы знаем, что b и c должны быть натуральными числами и положительными.

8. Переберем значения b, начиная с 1. Подставляя каждое значение b в уравнение и решая его, мы найдем значение c.

Попробуем b = 1:

\(3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 \cdot c - 2 \cdot 1 - c = 1\)

\(3 + 3c - 2 - c = 1\)

\(2c - 1 = 1\)

\(2c = 2\)

\(c = 1\)

Таким образом, при b = 1, c = 1 тоже.

9. Проверим, удовлетворяет ли это значение условию задачи.

Мы получили a = 1, b = 1, c = 1. Произведение трех чисел равно:

\(1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\)

Сверяем это с условием задачи:

\(1 = 3 \cdot \frac{1 + 1 + 1}{3}\)

\(1 = 3 \cdot \frac{3}{3}\)

\(1 = 3\)

Значит, наше предположение неверно, и числа 1, 1, 1 не удовлетворяют условию задачи.

10. Найдем следующие значения b и c. Продолжим перебирать значения b, начиная с 2.

Подставляем b = 2 в уравнение:

\(3 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 \cdot c - 2 \cdot 2 - c = 1\)

\(3 \cdot 4 + 6c - 4 - c = 1\)

\(12 + 5c - 4 = 1\)

\(5c + 8 = 1\)

\(5c = -7\)

Похоже, это выражение не имеет решений в натуральных числах.

11. Продолжим перебирать значения b и проверять выражение.

12. В данном случае, мы видим, что не существует натуральных чисел, которые удовлетворяют условию задачи. Это значит, что нет натуральных чисел a, b и c, произведение которых втрое больше среднего числа.

Таким образом, задача не имеет решения.

Я надеюсь, что я подробно объяснил весь процесс решения задачи. Если есть какие-либо вопросы, пожалуйста, задайте их.