1. Solve the equation: 1) 5x^2 - 10 = 0; 3) x^2 + 6x - 7 = 0; 5) x^2 - 3x + 1 = 0; 2) 3x^2 + 4x = 0; 4) 3x^2 + 7x

Печенье_6281

49

1. Решение уравнений:
1) \(5x^2 - 10 = 0\)

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы должны приравнять его к нулю и применить формулу дискриминанта.
Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае \(a = 5\), \(b = 0\), \(c = -10\).
Теперь мы можем вычислить дискриминант:
\(D = 0^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 0 + 200 = 200\).

Поскольку дискриминант положительный, имеем 2 действительных корня.
Формула для нахождения корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Решим это уравнение:
\(x = \frac{-0 \pm \sqrt{200}}{2 \cdot 5}\).
\(x = \frac{\pm \sqrt{200}}{10}\).
\[x = \frac{\pm 10\sqrt{2}}{10}.\]

2) \(3x^2 + 4x = 0\)

В данном случае у нас есть общий множитель \(x\), поэтому мы можем его вынести за скобку.
\(x(3x + 4) = 0\).

Теперь у нас есть два решения:
\(x = 0\) и \(3x + 4 = 0\).
Решим второе уравнение:
\(3x = -4\).
\(x = \frac{-4}{3}\).

3) \(x^2 + 6x - 7 = 0\)

Для решения этого уравнения мы можем использовать метод разложения на множители или применить формулу дискриминанта.
Поскольку разложение на множители может быть сложным, воспользуемся формулой дискриминанта.

В этом случае \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -7\).
Вычислим дискриминант:
\(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64\).

Поскольку дискриминант положительный, имеем 2 действительных корня.
Формула для нахождения корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Решим это уравнение:
\(x = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1}\).
\(x = \frac{-6 \pm 8}{2}\).
\(x_1 = \frac{-6 + 8}{2} = 1\).
\(x_2 = \frac{-6 - 8}{2} = -7\).

4) \(3x^2 + 7x + 2 = 0\)

Мы можем попробовать разложить это уравнение на множители или использовать формулу дискриминанта.
Так как разложение на множители может быть сложным, воспользуемся формулой дискриминанта.

В данном случае \(a = 3\), \(b = 7\), \(c = 2\).
Вычислим дискриминант:
\(D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25\).

Поскольку дискриминант положительный, имеем 2 действительных корня.
Формула для нахождения корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Решим это уравнение:
\(x = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3}\).
\(x = \frac{-7 \pm 5}{6}\).
\(x_1 = \frac{-7 + 5}{6} = -\frac{1}{3}\).
\(x_2 = \frac{-7 - 5}{6} = -2\).

5) \(x^2 - 3x + 1 = 0\)

Для решения этого уравнения мы снова можем использовать метод разложения на множители или формулу дискриминанта.

В данном случае \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 1\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5\).

Поскольку дискриминант положительный, имеем 2 действительных корня.
Формула для нахождения корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Решим это уравнение:
\(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}\).
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\).

6) \(x^2 - x + 3 = 0\)

Для решения этого уравнения мы снова можем использовать метод разложения на множители или формулу дискриминанта.

В данном случае \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = 3\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11\).

Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней.

2. Формулировка квадратного уравнения с суммой корней равной 6 и произведением равным 4.

Пусть \(x\) и \(y\) - корни квадратного уравнения. Тогда квадратное уравнение, удовлетворяющее условию, будет иметь вид:
\(x + y = 6\) и \(xy = 4\).

Таким образом, искомое уравнение: \(x^2 - 6x + 4 = 0\).

3. Один из сторон прямоугольника на 7 см больше другой, а площадь прямоугольника равна 44 см².

Пусть \(x\) - длина меньшей стороны прямоугольника, тогда \(x + 7\) - длина большей стороны.
Площадь прямоугольника можно выразить как произведение длины и ширины: \(x(x + 7) = 44\).

Раскроем скобки: \(x^2 + 7x = 44\).
Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \(x^2 + 7x - 44 = 0\).

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью разложения на множители, формулы дискриминанта или другого метода.
В данном случае, разложим на множители:
\((x - 4)(x + 11) = 0\).

Таким образом, у нас есть два решения: \(x - 4 = 0\) или \(x + 11 = 0\).
Решим эти уравнения:
\(x_1 = 4\) и \(x_2 = -11\).

Значит, меньшая сторона прямоугольника равна 4 см, а большая сторона равна 11 см.

4. Число -6 является корнем уравнения \(2x^2 + bx - 6 = 0\).

Если -6 является корнем, то \(2(-6)^2 + b(-6) - 6 = 0\).
\(72 - 6b - 6 = 0\).
\(66 - 6b = 0\).
\(-6b = -66\).
\(b = \frac{-66}{-6} = 11\).

Таким образом, второй корень равен \(\frac{66}{6} = 11\), а значение \(b\) равно 11.

5. При каком значении \(a\) уравнение \(2x^2 + 4x + a = 0\) имеет единственный корень?

Уравнение имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю.
Дискриминант этого уравнения равен: \(D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 16 - 8a\).

Чтобы уравнение имело единственный корень, \(D\) должен быть равен нулю: \(16 - 8a = 0\).
Решим это уравнение:
\(8a = 16\).
\(a = \frac{16}{8} = 2\).

Таким образом, при \(a = 2\) уравнение имеет единственный корень.

6. Известно, что