1) Справедливо ли утверждение, что sin 7п/12 - sin п/12 равно корню из двух, поделенному на два? 2) Правда ли

Ивановна

45

1) Для решения этой задачи воспользуемся формулой разности для синуса: \(\sin(A-B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)\).
Здесь \(A = \frac{7\pi}{12}\) и \(B = \frac{\pi}{12}\).
Подставим значения в формулу:
\(\sin\left(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) - \cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\).
Теперь вычислим значения синусов и косинусов в числовой форме:
\(\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) \approx 0.9659\),
\(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \approx 0.9659\),
\(\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) \approx -0.2588\),
\(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \approx 0.2588\).
Подставим значения:
\(\sin\left(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right) = (0.9659)(0.9659) - (-0.2588)(0.2588)\).
Вычислим:
\(\sin\left(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right) = 0.933-\)
\(0.067 \approx 0.866\).
Теперь сравним это с \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):
\(\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\).
Мы видим, что значение \(\sin\left(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right)\) не равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому исходное утверждение неверно.

2) Воспользуемся формулой суммы для синуса: \(\sin(A+B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)\).
Здесь \(A = \frac{11\pi}{18}\) и \(B = \frac{7\pi}{18}\).
Подставим значения в формулу:
\(\sin\left(\frac{11\pi}{18} + \frac{7\pi}{18}\right) = \sin\left(\frac{11\pi}{18}\right)\cos\left(\frac{7\pi}{18}\right) + \cos\left(\frac{11\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{18}\right)\).
Теперь вычислим значения синусов и косинусов:
\(\sin\left(\frac{11\pi}{18}\right) \approx 0.9659\),
\(\cos\left(\frac{7\pi}{18}\right) \approx 0.9659\),
\(\cos\left(\frac{11\pi}{18}\right) \approx -0.2588\),
\(\sin\left(\frac{7\pi}{18}\right) \approx 0.2588\).
Подставим значения:
\(\sin\left(\frac{11\pi}{18} + \frac{7\pi}{18}\right) = (0.9659)(0.9659) + (-0.2588)(0.2588)\).
Вычислим:
\(\sin\left(\frac{11\pi}{18} + \frac{7\pi}{18}\right) = 0.933+\)
\(0.067 \approx 1.000\).
Теперь сравним это с \(\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right)\):
\(\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right) \approx 0.966\).
Мы видим, что значение \(\sin\left(\frac{11\pi}{18} + \frac{7\pi}{18}\right)\) не равно \(\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right)\), поэтому исходное утверждение неверно.

3) Воспользуемся формулой суммы для косинуса: \(\cos(A+B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)\).
Здесь \(A = \frac{5\pi}{8}\) и \(B = \frac{\pi}{8}\).
Подставим значения в формулу:
\(\cos\left(\frac{5\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\).
Теперь вычислим значения синусов и косинусов:
\(\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) \approx 0.3827\),
\(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \approx 0.9239\),
\(\sin\left(\frac{5\pi}{8}\right) \approx 0.9239\),
\(\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \approx 0.3827\).
Подставим значения:
\(\cos\left(\frac{5\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right) = (0.3827)(0.9239) -
(0.9239)(0.3827)\).
Вычислим:
\(\cos\left(\frac{5\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right) = 0.353 - 0.353\).
Мы видим, что значение \(\cos\left(\frac{5\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right)\) равно \(0\), а не \(\sqrt{2}\), умноженному на \(\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\). Поэтому исходное утверждение неверно.

4) Воспользуемся формулой разности для косинуса: \(\cos(A-B) = \cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B)\).
Здесь \(A = \frac{11\pi}{24}\) и \(B = \frac{\pi}{8}\).
Подставим значения в формулу:
\(\cos\left(\frac{11\pi}{24} - \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{11\pi}{24}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin\left(\frac{11\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\).
Теперь вычислим значения синусов и косинусов:
\(\cos\left(\frac{11\pi}{24}\right) \approx 0.9659\),
\(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \approx 0.9239\),
\(\sin\left(\frac{11\pi}{24}\right) \approx 0.2588\),
\(\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \approx 0.3827\).
Подставим значения:
\(\cos\left(\frac{11\pi}{24} - \frac{\pi}{8}\right) = (0.9659)(0.9239) + (0.2588)(0.3827)\).
Вычислим:
\(\cos\left(\frac{11\pi}{24} - \frac{\pi}{8}\right) = 0.891+\)
\(0.099 \approx 0.990\).
Теперь сравним это с \(-\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)\):
\(-\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right) \approx -0.383\).
Мы видим, что значение \(\cos\left(\frac{11\pi}{24} - \frac{\pi}{8}\right)\) не равно \(-\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)\), поэтому исходное утверждение неверно.