Как можно доказать справедливость следующих тождеств: а) x & (y v z)=(x & y) v (x & z); б) x v y = x

Vodopad

56

Конечно! Давайте начнем с доказательства тождества а):

Для начала, мы можем использовать таблицу истинности, чтобы увидеть, что оба выражения дают одинаковые значения для всех возможных значений переменных x, y и z. Но для более подробного доказательства, давайте проведем дедуктивное рассуждение.

Для левой части выражения:
x & (y v z)

Давайте разберемся, что означают операторы, чтобы лучше понимать, что происходит. Оператор "&" - это логическое умножение (логическое И), а оператор "v" - это логическое сложение (логическое ИЛИ).

Если x & (y v z) истинно, это означает, что и x и (y v z) являются истинными. То есть, x в данном случае должно быть истинным, а (y v z) также должно быть истинным.

Теперь давайте рассмотрим правую часть выражения:
(x & y) v (x & z)

Тут мы имеем логическое И (x & y) и логическое И (x & z). И если хотя бы одно из этих выражений является истинным, то вся правая часть будет истинной.

Теперь, чтобы доказать, что левая и правая части являются эквивалентными, нам нужно показать, что если левая сторона истина, то и правая сторона также истина, и наоборот.

Для этого давайте предположим, что x & (y v z) истинно. Это означает, что и x является истинным, и (y v z) также является истинным. Обратите внимание, что (y v z) будет истинным, даже если только одно из y и z истинно.

Теперь у нас есть два случая:

1) Если y истинно, то (x & y) тоже будет истинно, поскольку x все равно истинно. Тогда (x & y) v (x & z) будет истинным, так как (x & y) уже истинно.

2) Если y ложно, а z истинно, то (x & z) будет истинно, так как x истинно в обоих случаях. Опять же, (x & y) v (x & z) будет истинным, так как (x & z) уже истинно.

Таким образом, в обоих случаях мы видим, что когда левая сторона истина, то и правая сторона также истина. Это означает, что тождество а) \(x \land (y \lor z) = (x \land y) \lor (x \land z)\) справедливо.

Теперь давайте перейдем к тождеству б) x v y = x.

Для этого тождества нам также потребуется провести дедуктивное рассуждение.

По определению логического сложения (x v y), это будет истинно, если хотя бы одно из выражений x или y истинно.

Пусть x истинно. В этом случае, любое выражение x v y также будет истинно, поскольку оно имеет хотя бы одно истинное выражение - x.

Теперь предположим, что x ложно. В этом случае, всегда будет выполняться x v y, так как при любом значении y это выражение будет истинным, поскольку x ложно.

Таким образом, независимо от значения y, тождество б) x v y = x всегда будет справедливо.

Таким образом, мы доказали справедливость обоих тождеств а) и б).

Если у вас есть еще вопросы или нужно дополнительное объяснение, пожалуйста, сообщите мне!