1. Укажите, какие из следующих функций убывают на всей числовой прямой: а) Функция y=5^x б) Функция y=(1/3)^x

Александра

58

1. Для определения убывают функции на всей числовой прямой или нет, нужно проанализировать их возрастание и убывание.

а) Функция y=5^x: Для данной функции фаза y=5^x возрастает при увеличении х (при x > 0) и убывает при уменьшении x (при x < 0). Значит эта функция не убывает на всей числовой прямой.

б) Функция y=(1/3)^x: В данной функции при увеличении x (x > 0) значение в знаменателе становится все меньше, что приводит к увеличению значения функции. Значит эта функция убывает на всей числовой прямой.

в) Функция y=2^(-x): Для данной функции фаза y=2^(-x) убывает при увеличении х (x > 0) и возрастает при уменьшении x (x < 0). Значит эта функция не убывает на всей числовой прямой.

г) Функция y=10^x: Функция y=10^x всегда возрастает при любых значениях x, поэтому она не убывает на всей числовой прямой.

д) Функция y=(1/2)^(-x): Функция y=(1/2)^(-x) возрастает при увеличении х (x > 0) и убывает при уменьшении x (x < 0). Значит эта функция не убывает на всей числовой прямой.

е) Функция y=4x^(-1): Для данной функции фаза y=4x^(-1) убывает при увеличении х (x > 0) и возрастает при уменьшении x (x < 0). Значит эта функция не убывает на всей числовой прямой.

ж) Функция y=3^(1-x): Функция y=3^(1-x) возрастает при увеличении х (x < 1) и убывает при увеличении x (x > 1). Значит эта функция не убывает на всей числовой прямой.

з) Функция y=0.9^x: Функция y=0.9^x всегда убывает при любых значениях x, поэтому она убывает на всей числовой прямой.

Итак, из перечисленных функций только функция y=(1/3)^x и функция y=0.9^x убывают на всей числовой прямой.

2. При нахождении области значений функций нужно определить все значения, которые может принять функция.

а) Функция y=2*3^x-1: Так как функция 3^x принимает только положительные значения, то умножение на 2 и вычитание 1 не изменяют это свойство. Значит область значений данной функции - все действительные числа.

б) Функция y=(1/3)^x-2: Поскольку в данной функции 1/3^x всегда будет положительным (из-за отрицательного показателя степени), вычитание 2 не влияет на это свойство. Таким образом, область значений функции также является всеми действительными числами.

3. Чтобы найти значения альфа для которых график функции y=a^x проходит через точки c(2; 9) и b(-2), нужно подставить координаты этих точек в уравнение функции и решить получившуюся систему уравнений.

a) Для точки c(2; 9), получаем уравнение:
9 = a^2

b) Для точки b(-2), получаем уравнение:
0 = a^(-2)

Решив систему уравнений, найдем значения альфа.

a^2 = 9
a = sqrt(9)
a = 3

a^(-2) = 0
1/a^2 = 0
1 = 0 * a^2
Такое равенство невозможно для любого значения а, поэтому решений у данного уравнения нет.

Итак, график функции y=a^x проходит через точку c(2; 9) только при a = 3 и не проходит через точку b(-2) при любом значении альфа.