Какова вероятность выбора трех новых деталей из общего числа деталей, состоящих из 9 новых и 3 старых, выбранных

Светик

48

Для решения данной задачи по вероятности нам потребуется узнать общее количество возможных комбинаций выбора трех деталей из общего числа деталей.

Итак, у нас есть 9 новых и 3 старых детали, всего 12 деталей. Мы должны выбрать 3 детали из этого общего числа, и нам нужно знать, сколько всего возможных комбинаций выбора существует.

Для определения количества комбинаций выбора используется формула сочетания. Формула сочетания для \(n\) объектов, выбираемых \(k\) одновременно, записывается следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{(n - k)! \cdot k!}}
\]

где символ \(n!\) обозначает факториал числа \(n\). Факториал числа \(n\) вычисляется как произведение всех положительных целых чисел от 1 до \(n\), и записывается как \(n!\).

Теперь мы можем применить эту формулу к нашей задаче:

\[
C(12, 3) = \frac{{12!}}{{(12-3)! \cdot 3!}} = \frac{{12!}}{{9! \cdot 3!}}
\]

Давайте теперь вычислим числитель и знаменатель данной формулы:

Числитель:

\[
12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

Знаменатель:

\[
9! \cdot 3! = (9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)
\]

Теперь, когда у нас есть числитель и знаменатель, мы можем их подставить в формулу:

\[
C(12, 3) = \frac{{12!}}{{9! \cdot 3!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{(9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)}}
\]

Мы видим, что множители от 9 до 1 в числителе и знаменателе упрощаются:

\[
C(12, 3) = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{1320}}{{6}} = 220
\]

Таким образом, всего у нас есть 220 различных комбинаций выбора трех деталей из общего числа деталей.

Вероятность выбора трех новых деталей будет равна количеству благоприятных исходов (т.е. выбор трех новых деталей) к общему числу исходов (т.е. комбинации выбора трех деталей).

Количество благоприятных исходов - это выбор всего трех новых деталей из 9 новых деталей:

\[
C(9, 3) = \frac{{9!}}{{(9-3)! \cdot 3!}} = \frac{{9!}}{{6! \cdot 3!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{6! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 84
\]

Таким образом, у нас есть 84 благоприятных исхода.

И, наконец, мы можем вычислить вероятность:

\[
P = \frac{{\text{{количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество исходов}}}} = \frac{{84}}{{220}} = \frac{{6}}{{15}} = \frac{{2}}{{5}}
\]

Ответ: вероятность выбора трех новых деталей из общего числа деталей будет равна 2/5.

Таким образом, правильный ответ на задачу — 2/5.