1. Упростите дробь (18х³у²)/(45ху⁵). 2. Сократите дробь (х+3)/(х²-9). 3. Упростите дробь (у²-25)/(2у-10). 4. Сократите

Звездопад_На_Горизонте

53

Конечно! Давайте посмотрим на каждую задачу по очереди.

1. Упростим дробь \(\frac{{18x^3y^2}}{{45xy^5}}\):

Для упрощения дроби мы можем сократить общие множители числителя и знаменателя. Сначала рассмотрим числитель: \(18x^3y^2\). Затем знаменатель: \(45xy^5\).

Начнем с числителя. Мы видим, что 18 делится на 9: \(18 = 9 \times 2\). Также, мы можем разложить \(x^3\) следующим образом: \(x^3 = x \times x^2\).
Теперь рассмотрим знаменатель. Мы можем разложить 45 и \(y^5\): \(45 = 9 \times 5\) и \(y^5 = y^2 \times y^3\).

Итак, наша дробь может быть упрощена следующим образом:
\[\frac{{18x^3y^2}}{{45xy^5}} = \frac{{9 \times 2 \times x \times x^2 \times y^2}}{{9 \times 5 \times x \times y^2 \times y^3}}\]

Мы можем сократить числитель и знаменатель на \(9, x\) и \(y^2\), получив окончательный ответ:
\[\frac{{2x^2}}{{5y^3}}\]

2. Сократим дробь \(\frac{{x+3}}{{x^2-9}}\):

Для сокращения дробей мы можем найти общие множители в числителе и знаменателе. В данном случае в числителе у нас есть \(x+3\), а в знаменателе \(x^2-9\).

Заметим, что \(x^2-9\) это разность квадратов и может быть факторизовано следующим образом: \(x^2-9 = (x+3)(x-3)\).

Теперь у нас есть:
\[\frac{{x+3}}{{x^2-9}} = \frac{{x+3}}{{(x+3)(x-3)}}\]

Мы можем сократить числитель и знаменатель на \(x+3\), получив окончательный ответ:
\[\frac{1}{{x-3}}\]

3. Упростим дробь \(\frac{{y^2-25}}{{2y-10}}\):

В данном случае у нас есть \(y^2-25\) в числителе и \(2y-10\) в знаменателе.

Мы замечаем, что \(y^2-25\) это разность квадратов и может быть записано следующим образом: \(y^2-25 = (y+5)(y-5)\).

Теперь у нас есть:
\[\frac{{y^2-25}}{{2y-10}} = \frac{{(y+5)(y-5)}}{{2y-10}}\]

Мы можем сократить числитель и знаменатель на \(5\), получив окончательный ответ:
\[\frac{{y+5}}{{2}}\]

4. Сократим дробь \(\frac{{x^2-49}}{{x^2+14x+49}}\):

Мы видим, что в числителе у нас имеется \(x^2-49\), а в знаменателе \(x^2+14x+49\).

\(x^2-49\) это разность квадратов и может быть разложено как \((x+7)(x-7)\).

Теперь у нас есть:
\[\frac{{x^2-49}}{{x^2+14x+49}} = \frac{{(x+7)(x-7)}}{{x^2+14x+49}}\]

Нет возможности сократить эту дробь, поэтому наш окончательный ответ будет:
\[\frac{{(x+7)(x-7)}}{{x^2+14x+49}}\]

5. Упростим дробь \(\frac{{x^3+8}}{{x^2-2x+4}}\):

В числителе у нас есть \(x^3+8\), а в знаменателе \(x^2-2x+4\).

Похоже, что ни числитель, ни знаменатель не могут быть упрощены дальше. Тем не менее, мы можем применить некоторые алгебраические свойства, чтобы прийти к окончательному ответу.

Выражение \(x^3+8\) может быть записано как сумма куба и может быть факторизовано следующим образом: \(x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)\).

Теперь у нас имеется:
\[\frac{{x^3+8}}{{x^2-2x+4}} = \frac{{(x+2)(x^2-2x+4)}}{{x^2-2x+4}}\]

Мы видим, что \(x^2-2x+4\) есть общий множитель числителя и знаменателя, и поэтому он сокращается, оставляя нас с окончательным ответом:
\[x+2\]