1. В четырехугольной системе координат вычислить площадь области, ограниченной кривыми, заданными уравнениями

Бублик_3402

34

Задача 1.
Для вычисления площади области, ограниченной кривыми, заданными уравнениями \(y = \arccos(x)\), \(y = 0\) и \(x = 0\), сначала нам необходимо найти точки пересечения этих кривых.

Подставим \(y = \arccos(x)\) в уравнение \(y = 0\):
\(\arccos(x) = 0\)

Так как \(\arccos(0) = \frac{\pi}{2}\), значит \(x = 1\).

Таким образом, точка пересечения уравнений \(y = \arccos(x)\) и \(y = 0\) - это точка (1, 0).

Теперь построим графики данных уравнений и найдем площадь области, ограниченной этими кривыми:

\[
\begin{align*}
&\text{Уравнение } y = \arccos(x) \\
&\text{Уравнение } y = 0 \\
&\text{Уравнение } x = 0
\end{align*}
\]


Чтобы найти площадь области, ограниченной этими кривыми, мы можем разделить ее на несколько более простых фигур - треугольников и прямоугольников - и затем сложить площади этих фигур.

Очевидно, что площадь треугольника слева от точки (1, 0) равна половине площади прямоугольника, ограниченного уравнениями \(y = \arccos(x)\) и \(y = 0\) на промежутке \([0, 1]\). Площадь этого прямоугольника можно вычислить как произведение его длины и ширины: \(1 \times \arccos(0)\).

Таким образом, площадь треугольника равна \(\frac{1}{2} \times 1 \times \arccos(0) = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}\).

Теперь найдем площадь прямоугольника, ограниченного уравнениями \(y = \arccos(x)\), \(y = 0\) и \(x = 0\) на промежутке \([1, 0]\). Площадь этого прямоугольника вычисляется как произведение его длины и ширины: \(1 \times \arccos(1)\).

Таким образом, площадь прямоугольника равна \(1 \times \frac{\pi}{2}\).

Сумма площадей треугольника и прямоугольника дает площадь области, ограниченной кривыми, заданными уравнениями \(y = \arccos(x)\), \(y = 0\) и \(x = 0\):

\[
\text{Площадь области} = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} + 1 \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}
\]

Таким образом, площадь области, ограниченной кривыми, заданными уравнениями \(y = \arccos(x)\), \(y = 0\) и \(x = 0\), равна \(\frac{3\pi}{4}\).

Вот визуализация данной области:


Задача 2.
Для расчета площади замкнутой области, ограниченной графиком уравнения полярных координат \(\rho = 2\sin(4\phi)\), мы можем воспользоваться принципом интегрирования.

Сначала необходимо найти интервал значений полярного угла \(\phi\), на котором осуществляется обход данной кривой. Для этого решим уравнение \(\rho = 2\sin(4\phi)\) относительно \(\phi\):

\[
2\sin(4\phi) = \rho
\]

Так как \(\sin(4\phi)\) периодическая функция с периодом \(\frac{\pi}{2}\), можно записать уравнение следующим образом:

\[
\sin(4\phi) = \frac{\rho}{2}
\]

Теперь найдем значения полярного угла \(\phi\), для которых выполняется это уравнение.

Для каждого значения \(\rho\) существует 4 значения \(\phi\), соответствующих \(\sin(4\phi) = \frac{\rho}{2}\), поэтому нам нужно учесть все возможные комбинации положительных и отрицательных значений \(\rho\) и \(\phi\).

Подставим значения \(\rho = 0\) и \(\rho = 2\) в уравнение \(\sin(4\phi) = \frac{\rho}{2}\):

1) При \(\rho = 0\): \(\sin(4\phi) = 0\). Это уравнение выполняется для любого значения \(\phi\).

2) При \(\rho = 2\): \(\sin(4\phi) = 1\). Решением этого уравнения является \(\phi = \frac{\pi}{8}\) и \(\phi = \frac{3\pi}{8}\).

Таким образом, интервалы значений полярного угла \(\phi\) для данного уравнения составляют: \(\left[0, \frac{\pi}{8}\right]\), \(\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right]\) и \(\left[\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{2}\right]\).

Однако для удобства расчета, мы можем использовать только один из этих интервалов, например, \(\left[0, \frac{\pi}{8}\right]\).

Теперь мы можем проинтегрировать радиус \(\rho\) от 0 до 2 и угол \(\phi\) от 0 до \(\frac{\pi}{8}\) для расчета площади замкнутой области:

\[
\text{Площадь области} = \int_{{0}}^{{\frac{\pi}{8}}}\int_{{0}}^{{2}} \rho d\rho d\phi
\]

\[
= \int_{{0}}^{{\frac{\pi}{8}}} \left[\frac{\rho^2}{2}\right]_{{0}}^{{2}} d\phi
\]

\[
= \int_{{0}}^{{\frac{\pi}{8}}} 2 d\phi
\]

\[
= \left[2\phi\right]_{{0}}^{{\frac{\pi}{8}}}
\]

\[
= 2\cdot\frac{\pi}{8}
\]

\[
= \frac{\pi}{4}
\]

Таким образом, площадь замкнутой области, ограниченной графиком полярного уравнения \(\rho = 2\sin(4\phi)\), равна \(\frac{\pi}{4}\).

Вот диаграмма данной области:


Задача 3.
Для определения длины кривой, определенной параметрическими уравнениями \(x = 2(\cos(t) + t\sin(t))\) и \(y = 2(\sin(t) - t\cos(t))\), где \(t\) принадлежит интервалу от 0 до \(\frac{\pi}{2}\), мы можем воспользоваться формулой для длины кривой, заданной параметрически.

Длина кривой задается следующим выражением:

\[
L = \int_{{a}}^{{b}} \sqrt{\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right)^2 + \left(\frac{{dy}}{{dt}}\right)^2}dt
\]

Где \(\frac{{dx}}{{dt}}\) и \(\frac{{dy}}{{dt}}\) - производные \(x\) и \(y\) по \(t\) соответственно.

Для данной задачи, \(\frac{{dx}}{{dt}} = 2(-\sin(t) + t\cos(t))\) и \(\frac{{dy}}{{dt}} = 2(\cos(t) + t\sin(t))\).

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу для длины кривой:

\[
L = \int_{{0}}^{{\frac{\pi}{2}}} \sqrt{\left(2(-\sin(t) + t\cos(t))\right)^2 + \left(2(\cos(t) + t\sin(t))\right)^2}dt
\]

Вычисления длины кривой являются сложной задачей, которая требует использования численных методов или таблиц интегралов, поэтому точное аналитическое выражение для длины кривой в данном случае будет сложно получить.

Задача 4.
Чтобы рассчитать объем тела, полученного вращением вокруг оси оy графика функции \(y = x^3\), мы можем использовать метод цилиндров.

Представьте себе, что график функции \(y = x^3\) вращается вокруг оси оy. Это создает цилиндры бесконечно малой высоты с радиусом \(x^3\) и толщиной \(dx\). Объем каждого такого цилиндра вычисляется как \(\pi(x^3)^2dx\).

Чтобы получить полный объем тела, мы должны просуммировать объемы всех таких цилиндров на интервале от 0 до \(x\), где \(x\) является пределом интегрирования:

\[
\text{Объем тела} = \int_{{0}}^{{x}} \pi(x^3)^2dx
\]

\[
= \pi\int_{{0}}^{{x}} x^6dx
\]

\[
= \left[\pi\frac{x^7}{7}\right]_{{0}}^{{x}}
\]

\[
= \pi\frac{x^7}{7}
\]

Таким образом, объем тела, полученного вращением вокруг оси оy графика функции \(y = x^3\), равен \(\pi\frac{x^7}{7}\).