При каких натуральных значениях а оба выражения 126/а и 72/а будут натуральными?

Дождь

28

Чтобы оба выражения \(\frac{126}{a}\) и \(\frac{72}{a}\) были натуральными числами, значение \(a\) должно быть таким, что оба выражения будут иметь натуральные числители и знаменатели. Натуральные числа - это положительные числа, начиная с 1.

Давайте рассмотрим каждое выражение по отдельности:

Выражение \(\frac{126}{a}\):
Чтобы результат был натуральным числом, числитель 126 должен делиться на \(a\) без остатка. Мы можем найти все натуральные значения \(a\), для которых это выполняется, проведя полный перебор. Давайте проверим деление числителя на \(a\) при различных значениях \(a\):
\(\frac{126}{1} = 126\)
\(\frac{126}{2} = 63\)
\(\frac{126}{3} = 42\)
\(\frac{126}{4} = 31.5\) (не является натуральным числом)
\(\frac{126}{5} = 25.2\) (не является натуральным числом)
\(\frac{126}{6} = 21\)
\(\frac{126}{7} = 18\)
\(\frac{126}{8} = 15.75\) (не является натуральным числом)
\(\frac{126}{9} = 14\)
\(\frac{126}{10} = 12.6\) (не является натуральным числом)
...
Мы видим, что числитель 126 делится на \(a\) без остатка для \(a = 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63,\) и \(126\). Таким образом, при этих значениях \(a\) выражение \(\frac{126}{a}\) будет натуральным числом.

Теперь рассмотрим выражение \(\frac{72}{a}\):
Аналогично, чтобы результат был натуральным числом, числитель 72 должен делиться на \(a\) без остатка. Проведем аналогичный анализ:
\(\frac{72}{1} = 72\)
\(\frac{72}{2} = 36\)
\(\frac{72}{3} = 24\)
\(\frac{72}{4} = 18\)
\(\frac{72}{5} = 14.4\) (не является натуральным числом)
\(\frac{72}{6} = 12\)
...
Мы видим, что числитель 72 делится на \(a\) без остатка для \(a = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36,\) и \(72\). Таким образом, при этих значениях \(a\) выражение \(\frac{72}{a}\) будет натуральным числом.

Теперь нам нужно найти общие значения \(a\) для которых оба выражения \(\frac{126}{a}\) и \(\frac{72}{a}\) равны натуральным числам. Для этого мы можем найти пересечение двух множеств значений \(a\), одно из которых содержит значения, делитель которых является для 126, а другое содержит значения, делитель которых является для 72. Вот эти значения:

\(a = 1, 2, 3, 6, 9, 18,\) и \(36\).

Таким образом, при этих значениях \(a\) оба выражения \(\frac{126}{a}\) и \(\frac{72}{a}\) будут натуральными числами.