Какое количество натуральных чисел N, превышающих 900, таких, что среди 3N, N-900, N+15 и 2N ровно два являются

Осень

65

Давайте разберем эту задачу пошагово. Мы ищем количество натуральных чисел \(N\), которые превышают 900 и удовлетворяют условию задачи, что среди чисел \(3N\), \(N-900\), \(N+15\) и \(2N\) ровно два являются четырехзначными.

Шаг 1: Посмотрим, какие условия выполняются при различных значениях \(N\).

Чтобы найти два четырехзначных числа среди \(3N\), \(N-900\), \(N+15\) и \(2N\), необходимо усложнить условия.

При \(N > 900\):
- Если \(N\) четное число, то \(3N\) и \(2N\) также являются четными числами, а это означает, что ровно два числа из заданных будут четырехзначными.
- Если \(N\) нечетное число, то \(3N\) и \(2N\) будут нечетными числами, а поэтому ровно два числа из заданных не будут четырехзначными.

Шаг 2: Найдем интервал, в котором \(N\) должно находиться, чтобы удовлетворять условию задачи.

Так как условие задачи требует, чтобы ровно два числа из \(3N\), \(N-900\), \(N+15\) и \(2N\) были четырехзначными, нам нужно найти границы интервала, в котором \(N\) должно находиться для каждого из случаев.

Для четных чисел \(N\):
\(1000 \leq 2N \leq 9999\) и \(1000 \leq 3N \leq 9999\)

Для нечетных чисел \(N\):
\(1000 \leq N-900 \leq 9999\) и \(1000 \leq N+15 \leq 9999\)

Шаг 3: Решение задачи.

Проанализируем каждый из случаев.

Для четных чисел \(N\):
Условие \(1000 \leq 2N \leq 9999\) выполняется всегда, так как делящая на 2 четырехзначная граница равна \(1000 \cdot 2 = 2000\).
Условие \(1000 \leq 3N \leq 9999\) выполняется для \(333 \leq N \leq 3333\).

Для нечетных чисел \(N\):
Условие \(1000 \leq N-900 \leq 9999\) выполняется для \(1900 \leq N \leq 1800\).
Условие \(1000 \leq N+15 \leq 9999\) выполняется, когда \(985 \leq N \leq 9985\).

Таким образом, для четных чисел \(N\) интервал равен \([333, 3333]\), а для нечетных чисел \(N\) интервал равен \([1900, 1800]\).

Шаг 4: Найдем количество натуральных чисел \(N\), которые удовлетворяют заданным условиям в найденных интервалах.

Для четных чисел \(N\) в интервале \([333, 3333]\) имеется \((3333-333)/2 + 1 = 1501\) возможное значение \(N\).

Для нечетных чисел \(N\) в интервале \([1900, 1800]\) имеется \((1900-1800)/2 + 1 = 51\) возможное значение \(N\).

Таким образом, общее количество натуральных чисел \(N\), превышающих 900 и удовлетворяющих условию задачи, равно \(1501 + 51 = 1552\).

Ответ: Количество натуральных чисел \(N\), превышающих 900 и удовлетворяющих условию задачи, равно 1552.