№1 В какую позицию между числами 81 и 256 нужно вставить 3 числа так, чтобы они вместе образовали прогрессию?

Barsik

58

Номер 1:
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\],

где \(a_n\) - n-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии и \(d\) - шаг прогрессии.

У нас даны два числа 81 и 256, и мы должны вставить три числа между ними так, чтобы они образовали прогрессию. Предположим, что первый член прогрессии равен \(a_1 = 81\) и шаг прогрессии равен \(d\).

Тогда, второй член прогрессии будет \(a_2 = a_1 + d = 81 + d\), третий член прогрессии будет \(a_3 = a_2 + d = 81 + d + d = 81 + 2d\), четвертый член прогрессии будет \(a_4 = a_3 + d = 81 + 2d + d = 81 + 3d\), и наконец, пятый член прогрессии будет \(a_5 = a_4 + d = 81 + 3d + d = 81 + 4d\).

Таким образом, мы получили пять чисел в прогрессии: 81, 81 + d, 81 + 2d, 81 + 3d и 81 + 4d.

Мы также знаем, что последний член прогрессии равен 256, т.е. \(a_5 = 256\). Подставим это в уравнение:

\[81 + 4d = 256\].

Выразим \(d\):

\[4d = 256 - 81\],
\[4d = 175\],
\[d = \frac{175}{4}\].

Теперь мы знаем шаг прогрессии \(d = \frac{175}{4}\), а значит, мы можем найти значения членов прогрессии:

\[a_2 = 81 + \frac{175}{4}\],
\[a_3 = 81 + 2\left(\frac{175}{4}\right)\],
\[a_4 = 81 + 3\left(\frac{175}{4}\right)\].

Таким образом, путем решения уравнения и подстановки получившихся значений, мы можем найти требуемые три числа, которые нужно вставить между 81 и 256.

Номер 2:
Для нахождения значения данной формулы \[b_n = 5 \cdot 2^{(n+1)}\], мы должны знать значение индекса \(n\), чтобы определить, какое значение \(b_n\) будет.

Предположим, у нас есть значение \(n = 3\). Мы можем подставить его в формулу:

\[b_3 = 5 \cdot 2^{(3+1)}\].

Вычислим это значение:

\[b_3 = 5 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80\].

Таким образом, когда \(n = 3\), значение \(b_3\) будет равно 80.