1) В параллелограмме ABCD точки M и N расположены на сторонах BC и CD соответственно так, что BM: MC = 3:1 и CN

Sonya_4720

62

Решение:

1) В параллелограмме \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) делят стороны \(BC\) и \(CD\) в отношениях \(3:1\) и \(1:2\) соответственно. Поскольку вектор \(DM = DC + CM\), а \(DC = -AD\), то вектор \(DM\) выражается как:

\[DM = -AD + 3/4 \cdot AD = -AD + 3/4 \cdot b\]

Так как вектор \(NM = NC + CM\), а \(NC = -AB\), тогда вектор \(NM\) равен:

\[NM = -AB + 1/3 \cdot CM = -AB + 1/3 \cdot 1/4 \cdot b = -AB + 1/12 \cdot b\]

Таким образом, мы выразили векторы \(DM\) и \(NM\) через векторы \(a\) и \(b\).

2) Для проверки коллинеарности векторов \(NM\) и \(1/4 \cdot AD - 1/3 \cdot AB\), найдем их кратные:

\[4 \cdot NM = 4(-AB + 1/12 \cdot b) = -4AB + 1/3 \cdot b\]
\[3 \cdot (1/4 \cdot AD - 1/3 \cdot AB) = 3(1/4 \cdot b - 1/3 \cdot a) = 3/4 \cdot b - a\]

Таким образом, векторы \(-4AB + 1/3 \cdot b\) и \(3/4 \cdot b - a\) являются кратными, следовательно, векторы \(NM\) и \(1/4 \cdot AD - 1/3 \cdot AB\) коллинеарны.