1. В прямоугольном треугольнике АВС (∠C = 90°) медиана CH проведена. Если AB = 26, то какая будет сумма векторов

Милана

1

1. Для начала решим первую задачу. Мы имеем прямоугольный треугольник АВС с углом С, равным 90°, и медиану CH, которую мы провели. Согласно свойствам медианы, она делит другую сторону пополам и проходит через прямой угол. То есть, мы можем сказать, что CH = \(\frac{1}{2}\)AB.

Поскольку нам известно, что AB = 26, то CH будет равна \(\frac{1}{2}\) * 26 = 13.

Теперь нам нужно найти сумму векторов AB+CA+BH. Заметим, что вектор AB указывает от точки A к точке B, вектор CA - от точки C к точке A, а вектор BH - от точки B к точке H.

Мы можем записать вектор AB+CA+BH = AB+BC+CH (треугольник ABC - замкнутая фигура). Заметим, что AB направлено от A к B, BC направлено от B к C, а CH направлено от C к H.

Таким образом, сумма векторов AB+CA+BH будет равна AB+BC+CH. Мы знаем, что AB = 26 и CH = 13, поэтому нам нужно найти значение BC.

Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:

\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)

Подставляя значения, получим:

\(AC^2 = 26^2 + BC^2\)
\(AC^2 = 676 + BC^2\)

Так как медиана CH делит сторону AB пополам, то точка H будет являться серединой стороны AB. Следовательно, треугольники BCH и CAH будут подобными, и отношение их сторон будет равно \(\frac{1}{2}\).

Это значит, что \(\frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}\).
Заменим AC на \(\sqrt{676 + BC^2}\), получаем:

\(\frac{BC}{\sqrt{676 + BC^2}} = \frac{1}{2}\)

Умножим обе части уравнения на \(\sqrt{676 + BC^2}\), получаем:

\(BC = \frac{1}{2}\sqrt{676 + BC^2}\)

Теперь мы можем решить это уравнение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(BC^2 = \frac{1}{4}(676 + BC^2)\)
\(BC^2 = \frac{1}{4} \cdot 676 + \frac{1}{4} \cdot BC^2\)
\(BC^2 - \frac{1}{4} \cdot BC^2 = \frac{1}{4} \cdot 676\)
\(\frac{3}{4} \cdot BC^2 = \frac{1}{4} \cdot 676\)
\(BC^2 = \frac{1}{3} \cdot 676\)
\(BC = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot 676}\)
\(BC = \frac{26}{\sqrt{3}}\)
\(BC = \frac{26\sqrt{3}}{3}\)

Теперь мы можем найти сумму векторов AB+BC+CH (AB = 26, BC = \(\frac{26\sqrt{3}}{3}\), CH = 13):

AB + BC + CH = 26 + \(\frac{26\sqrt{3}}{3}\) + 13

Таким образом, сумма векторов AB+CA+BH равна 39 + \(\frac{26\sqrt{3}}{3}\).
2. Теперь решим вторую задачу. У нас есть трапеция ABCD с равными основаниями AB и CD (AB = CD = 4), углом D, равным 60°, и стороной AD равной 11.

Мы хотим найти сумму векторов AD+BA+DC. Заметим, что вектор AD указывает от точки A к точке D, вектор BA - от точки B к точке A, а вектор DC - от точки D к точке C.

Мы можем записать вектор AD+BA+DC = AD+AB+BC (трапеция ABCD - замкнутая фигура). Заметим, что AD направлено от A к D, AB направлено от A к B, а DC направлено от D к C.

Таким образом, сумма векторов AD+BA+DC будет равна AD+AB+BC. Мы знаем, что AD = 11 и AB = CD = 4, поэтому нам нужно найти значение BC.

Так как угол D равен 60°, то треугольник ADC является равносторонним. Следовательно, сторона AC также равна 4.

Теперь мы можем найти значение BC. Для этого нам нужно вычислить длину основания BC:

BC = AD - AC
BC = 11 - 4 = 7

Теперь мы можем найти сумму векторов AD+BA+DC (AD = 11, AB = 4, BC = 7):

AD + AB + BC = 11 + 4 + 7

Таким образом, сумма векторов AD+BA+DC равна 22 + 7 = 29.