1. В прямоугольном треугольнике с острым углом, равным 45°, и гипотенузой, равной с, найдите высоту, опущенную

Виктория

54

1. Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора и отношения в треугольнике с острым углом 45°.

a) Теорема Пифагора гласит, что для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c выполняется соотношение:

\[c^2 = a^2 + b^2\].

В данной задаче у нас есть гипотенуза, равная с, и мы ищем высоту, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу. Обозначим эту высоту как h.

b) Для прямоугольного треугольника с острым углом 45°, катеты равны по значению, и так как мы знаем, что острый угол равен 45°, мы можем применить тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике, где все стороны пропорциональны.

Согласно теореме Пифагора, у нас есть соотношение:

\[c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\].

Таким образом, значение катетов равно \(a = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}c}{2}\).

c) Найдем значение высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Высота разделяет прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника. Таким образом, длина высоты будет составлять половину длины гипотенузы.

\[h = \frac{c}{2}\].

Таким образом, высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна \(\frac{c}{2}\).

2. Для решения этой задачи мы можем использовать свойства равнобедренных треугольников и выразить основание и высоту с помощью предоставленных данных.

a) Поскольку угол при основании равнобедренного треугольника равен 45°, а угол при вершине прямой (непрямой) 90°, оставшийся угол равен 180° - 45° - 90° = 45°. Таким образом, треугольник является прямоугольным.

b) Для непрямого угла равнобедренного треугольника со сторонами a, b и гипотенузой c выполняется соотношение:

\[a^2 + b^2 = c^2\].

c) По условию задачи основание треугольника превышает высоту на 9 см, то есть \(a = h + 9\).

d) Решим систему уравнений, объединяющую условие равнобедренности и условие с применением теоремы Пифагора:

\[(h + 9)^2 + h^2 = c^2\].

e) Разложим получившееся уравнение:

\(h^2 + 18h + 81 + h^2 = c^2\).

\(2h^2 + 18h + 81 = c^2\).

f) Поскольку сторона длиннее на 9 см, чем высота, основание равно \(a = h + 9\). Высота равна h.

Таким образом, основание и высота равнобедренного треугольника будут являться решением получившегося уравнения в системе уравнений.

3. Для решения этой задачи мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников и выразить стороны с помощью предоставленных данных.

a) Пусть x - это меньшая сторона, а 2x - это наибольшая сторона прямоугольного треугольника.

b) Так как один из острых углов вдвое больше другого, это означает, что углы равны 2x и x.

c) Разность между наибольшей и наименьшей сторонами равна 49 см:

\[(2x - x) = 49\].

\[(x) = 49\].

d) Решим уравнение и найдем значение x:

\[x = 49/1 = 49\],

e) Таким образом, наименьшая сторона равна 49 см, а наибольшая сторона равна \(2x = 2 * 49 = 98\) см.

4. Для решения этой задачи мы можем использовать отношения между углами и сторонами треугольника и выразить неизвестные величины с помощью предоставленных данных.

a) Для треугольника с углами, относящимися как 1:2:3, сумма всех углов будет равна 180°.

b) Обозначим меньший угол как x, а другие углы будут равны 2x и 3x соответственно.

c) Таким образом, у нас есть уравнение:

\[x + 2x + 3x = 180\].

\[6x = 180\].

\[x = 180/6 = 30\].

d) Теперь мы знаем значения углов треугольника: 30°, 60° и 90°.

e) Сумма большей и меньшей сторон треугольника равна 7,2 см. Обозначим меньшую сторону как a, среднюю сторону как b и наибольшую сторону как c.

f) Используя соотношения в прямоугольном треугольнике, мы можем записать следующие уравнения:

a) По теореме Пифагора:
\[a^2 + b^2 = c^2\].

b) Сумма двух меньших сторон равна 7,2:
\[a + b = 7,2\].

g) Подставим значение x, найденное ранее, чтобы найти значения сторон треугольника.

h) Меньшая сторона равна \(a = 30 * 0,1 = 3\) см.

i) Наибольшая сторона равна \(c = 3 * 3 = 9\) см.

j) Таким образом, меньшая сторона треугольника равна 3 см, а наибольшая сторона равна 9 см.