1) В случае, когда измеренное астронавтом расстояние оказалось в два раза короче, чем расстояние, измеренное с Земли

Sofya_8001

46

1) Для решения этой задачи нам потребуются знания о том, что скорость света равна приблизительно \(3 \times 10^8 \, \text{м/с}\).

Пусть \(v\) - скорость звездолета (которую мы хотим найти), \(D\) - расстояние, измеренное астронавтом, и \(D_0\) - расстояние, измеренное с Земли.

Задача говорит нам, что \(D\) оказалось в два раза короче, чем \(D_0\). Мы можем записать это следующим образом: \(D = \frac{1}{2} D_0\).

Скорость звездолета можно выразить как \(v = \frac{D}{t}\), где \(t\) - время, необходимое для преодоления расстояния \(D\).

Теперь мы можем написать уравнение, используя известные нам факты:
\[v = \frac{\frac{1}{2} D_0}{t}\]

Заметим, что Земля и звездолет находятся в относительном движении, поэтому время \(t\) может быть одинаково в обеих системах отсчета.

Для упрощения решения, допустим, что время \(t = 1\) секунда (или любое другое произвольное значение, которое нам удобно).

Подставляя значения в уравнение, получаем:
\[v = \frac{\frac{1}{2} D_0}{1} = \frac{1}{2} D_0\]

Теперь нам осталось найти значение \(D_0\), чтобы найти скорость звездолета.

Из условия задачи мы знаем, что \(D = \frac{1}{2} D_0\). Таким образом, у нас есть соотношение между \(D\) и \(D_0\).

Теперь давайте воспользуемся другим соотношением, касающимся этих частичек.

Мы знаем, что скорость света равна \(3 \times 10^8 \, \text{м/с}\). Мы также знаем, что величина \(D\) является расстоянием, пройденным светом за \(1\) секунду, и составляет \(D = v \times t\).

Теперь нам нужно найти \(D_0\), чтобы найти \(v\).

Воспользуемся первым соотношением, где \(D = \frac{1}{2} D_0\):

\[\frac{1}{2} D_0 = 3 \times 10^8 \, \text{м/с} \times 1 \, \text{с}\]

Решив это уравнение, найдем:

\[D_0 = 2 \times 3 \times 10^8 \, \text{м}\]

Теперь, подставив это значение \(D_0\) в уравнение для \(v\), получаем:

\[v = \frac{1}{2} D_0 = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times 10^8 \, \text{м/с} = 3 \times 10^8 \, \text{м/с}\]

Ответ: а) \(2,6 \times 10^6 \, \text{км/с}\).

2) В этой задаче нам дана масса частицы \(m_0 = 1 \, \text{г}\) и скорость \(v = 0,9c\), где \(c\) - скорость света.

Нам нужно найти массу частицы в системе, связанной с наблюдателем.

В этой задаче мы будем использовать формулу для релятивистской массы:

\[m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]

Подставим значения в формулу и рассчитаем \(m\):

\[m = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{0,9c}{c}\right)^2}}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[m = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,9^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,81}} = \frac{1}{\sqrt{0,19}}\]

Вычислив значение под знаком корня, получим:

\[m = \frac{1}{\sqrt{0,19}} = \frac{1}{0,43588989435} \approx 2,2964 \, \text{г}\]

Ответ: г) \(2,2 \, \text{г}\).

3) В этой задаче нам говорится, что часы на космическом корабле идут в два раза медленнее, чем на Земле, и нам нужно найти скорость космического корабля.

Воспользуемся формулой время-расстояние-скорость:

\[v = \frac{D}{t}\]

Пусть \(v\) - скорость космического корабля, \(D\) - расстояние, пройденное кораблем, и \(t\) - продолжительность времени измерения.

Из условия задачи мы знаем, что время на корабле движется в два раза медленнее, чем на Земле. Это можно записать как \(t = 2t_0\), где \(t_0\) - время, прошедшее на Земле.

Теперь мы можем переписать формулу скорости, используя полученное соотношение времени:

\[v = \frac{D}{2t_0}\]

На Земле время измерения равно \(t_0\), поэтому \(v_0 = \frac{D}{t_0}\), где \(v_0\) - скорость, измеренная на Земле.

Теперь давайте воспользуемся значением \(v_0\), чтобы найти значение \(D\). Из условия задачи мы знаем, что \(t_0 = 2t\). Таким образом, у нас есть соотношение между \(t_0\) и \(t\).

Теперь давайте подставим это в уравнение для \(v_0\):

\[v_0 = \frac{D}{t_0} = \frac{D}{2t}\]

Мы знаем, что скорость света равна \(3 \times 10^8 \, \text{м/с}\). Мы также знаем, что величина \(D\) является расстоянием, пройденным светом за время \(t\), и составляет \(D = v_0 \times t\).

Теперь нам нужно найти \(D\), чтобы найти \(v\).

Подставим значение \(v_0\) в уравнение для \(D\):

\[D = v_0 \times t = 3 \times 10^8 \, \text{м/с} \times t\]

Теперь, зная, что \(t_0 = 2t\), мы можем выразить \(t\) через \(t_0\):

\[t = \frac{1}{2} t_0\]

Подставим это значение \(t\) в уравнение для \(D\):

\[D = 3 \times 10^8 \, \text{м/с} \times \frac{1}{2} t_0\]

Упростим выражение:

\[D = \frac{3 \times t_0 \times 10^8 \, \text{м}}{2}\]

Теперь, подставим это значение \(D\) в уравнение для \(v\):

\[v = \frac{D}{2t_0} = \frac{\frac{3 \times t_0 \times 10^8 \, \text{м}}{2}}{2t_0} = \frac{3 \times 10^8 \, \text{м/с}}{4}\]

Ответ: в) \(2,6 \times 10^7 \, \text{км/с}\).