Сколько полных оборотов сделает материальная точка за время 314 с, если она равномерно вращается по окружности радиусом

Chernaya_Magiya_843

44

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся формулы и соотношения для движения по окружности и ускорения.

Для начала, давайте вспомним, что окружность – это фигура, по которой движется наша материальная точка. Радиус окружности – это расстояние от центра окружности до любой точки на ее периметре. В данной задаче радиус равен 0,2 метра.

Теперь, у нас есть ускорение, которое равно 0,05 м/с^2. По определению, ускорение – это изменение скорости со временем.

Для материальной точки, движущейся по окружности, скорость также изменяется, и мы можем использовать формулу для ускорения вращательного движения:

\[a = \frac{{v^2}}{{r}}\]

Где:
- a – ускорение
- v – скорость
- r – радиус окружности

Также мы знаем, что скорость материальной точки при вращательном движении связана с угловой скоростью \(\omega\) и радиусом окружности r следующим образом:

\[v = \omega \cdot r\]

Теперь, чтобы найти количество полных оборотов, нужно выразить все величины через полный оборот.

Одним оборотом мы понимаем полный оборот вокруг окружности радиусом r. Длина окружности равна \(2\pi r\).

Таким образом, угловая скорость \(\omega\) можно описать через количество оборотов \(N\) и время \(t\) следующим образом:

\[\omega = \frac{{2 \pi N}}{{t}}\]

Теперь мы можем объединить все это вместе.

1. Сначала найдем скорость \(v\):
\[v = \omega \cdot r\]

\[v = \frac{{2 \pi N}}{{t}} \cdot r = \frac{{2 \pi rN}}{{t}}\]

2. Затем найдем ускорение \(a\):
\[a = \frac{{v^2}}{{r}} = \frac{{\left(\frac{{2 \pi rN}}{{t}}\right)^2}}{{r}} = \frac{{4 \pi^2 r^2 N^2}}{{t^2}}\]

3. Наконец, найдем количество полных оборотов, путем размещения уравнений вместе и решения их относительно \(N\):

\[a = \frac{{4 \pi^2 r^2 N^2}}{{t^2}}\]

\[\frac{{4 \pi^2 r^2 N^2}}{{t^2}} = 0,05\]

\[N^2 = \frac{{0,05 \cdot t^2}}{{4 \pi^2 r^2}}\]

\[N = \sqrt{\frac{{0,05 \cdot t^2}}{{4 \pi^2 r^2}}}\]

Теперь у нас есть формула для нахождения количества полных оборотов \(N\) в зависимости от радиуса окружности \(r\) и времени \(t\).

Подставим известные значения и рассчитаем количество полных оборотов:

\[N = \sqrt{\frac{{0,05 \cdot (314\ \text{с})^2}}{{4 \cdot \pi^2 \cdot (0,2\ \text{м})^2}}}\]

Рассчитываем численное значение:

\[N = \sqrt{\frac{{(314\ \text{с})^2 \cdot 0,05}}{{4 \cdot \pi^2 \cdot (0,2\ \text{м})^2}}}\]

\[N \approx \sqrt{6,297}\]

\[N \approx 2,51\]

Таким образом, материальная точка сделает около 2,51 полного оборота за время 314 секунд, при условии, что она равномерно вращается по окружности радиусом 0,2 метра и имеет ускорение 0,05 м/с^2.