1. В треугольнике со сторонами 6 и 12, проведены высоты к этим сторонам. Если высота, проведенная к первой стороне

Vesenniy_Les

11

Хорошо, рассмотрим каждую задачу по очереди и предоставим подробные и понятные объяснения с обоснованиями и пошаговыми решениями.

1. В треугольнике со сторонами 6 и 12, проведены высоты к этим сторонам. Если высота, проведенная к первой стороне, равна 2, то какова высота, проведенная ко второй стороне?

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойством треугольника, согласно которому высоты, проведенные к сторонам треугольника, делят эти стороны на отрезки, пропорциональные друг другу.

По условию задачи, мы знаем, что высота, проведенная к первой стороне, равна 2. Обозначим высоту, проведенную ко второй стороне, как \(h_2\).

Так как высоты делят стороны треугольника пропорционально, мы можем записать пропорцию:
\(\frac{h_1}{h_2} = \frac{a_1}{a_2}\), где \(h_1\) и \(h_2\) - высоты, а \(a_1\) и \(a_2\) - соответствующие стороны треугольника.

В нашем случае, значение \(h_1\) равно 2, а стороны треугольника равны 6 и 12, соответственно. Заменяя эти значения в пропорции, получаем:
\(\frac{2}{h_2} = \frac{6}{12}\)

Чтобы решить пропорцию, мы можем упростить ее. Делим числитель и знаменатель дроби \(\frac{6}{12}\) на их наибольший общий делитель, который в данном случае равен 6:
\(\frac{1}{h_2} = \frac{1}{2}\)

Заменяя дроби целыми числами, получаем уравнение:
1 = \(\frac{h_2}{2}\)

Чтобы найти значение \(h_2\), умножим обе части уравнения на 2:
2 = \(h_2\)

Таким образом, высота, проведенная ко второй стороне, равна 2.

2. У прямоугольного треугольника один катет равен 6, а другой на 5 больше. Какова площадь этого треугольника?

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу:
Площадь = \(\frac{1}{2} \times\) основание \(\times\) высота

В данной задаче нам известно, что один катет равен 6, а другой на 5 больше. Обозначим меньший катет как \(a\) (6) и больший катет как \(b\) (\(a+5\)).

По теореме Пифагора, где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты, у нас есть:
\(c^2 = a^2 + b^2\)

В нашем случае, катеты равны 6 и 6+5=11, соответственно. Подставляя значения, получаем:
\(c^2 = 6^2 + 11^2\)
\(c^2 = 36 + 121\)
\(c^2 = 157\)

Чтобы найти гипотенузу, возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения:
\(c = \sqrt{157}\)

Теперь у нас есть значения катетов и гипотенузы, и мы можем найти площадь треугольника, используя формулу:
Площадь = \(\frac{1}{2} \times a \times b\)

Подставляя значения, получаем:
Площадь = \(\frac{1}{2} \times 6 \times 11\)
Площадь = 33

Таким образом, площадь этого прямоугольного треугольника равна 33.

3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26, а один из катетов равен 10. Какова площадь этого треугольника?

Мы можем использовать ту же формулу для нахождения площади прямоугольного треугольника:
Площадь = \(\frac{1}{2} \times a \times b\)

В данной задаче нам известно, что гипотенуза равна 26, а один из катетов равен 10. Обозначим гипотенузу как \(c\) (26) и катеты как \(a\) (10) и \(b\) (неизвестно).

По теореме Пифагора, где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты, у нас есть:
\(c^2 = a^2 + b^2\)

В нашем случае, гипотенуза равна 26, а катеты равны 10 и \(b\). Подставляя значения, получаем:
\(26^2 = 10^2 + b^2\)
\(676 = 100 + b^2\)
\(576 = b^2\)

Чтобы найти значение \(b\), возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения:
\(b = \sqrt{576}\)
\(b = 24\)

Теперь у нас есть значения катетов и мы можем найти площадь треугольника, используя формулу:
Площадь = \(\frac{1}{2} \times a \times b\)

Подставляя значения, получаем:
Площадь = \(\frac{1}{2} \times 10 \times 24\)
Площадь = 120

Таким образом, площадь этого прямоугольного треугольника равна 120.