1. В ящике содержится 12 деталей, из которых 7 окрашены. Сборщик наугад извлекает 4 детали. Какова вероятность того
1. В ящике содержится 12 деталей, из которых 7 окрашены. Сборщик наугад извлекает 4 детали. Какова вероятность того, что а) только 3 детали окажутся окрашенными; б) хотя бы одна деталь будет окрашенной?
2. На мишени делаются 3 выстрела. Рассматриваются события "попадание при k-м выстреле", где k = 1, 2, 3. Пусть р() = 0,1; р() = 0,4; р() = 0,2. Что представляют собой вероятности следующих событий: а) все три выстрела попадают; б) число попаданий меньше двух?
2. На мишени делаются 3 выстрела. Рассматриваются события "попадание при k-м выстреле", где k = 1, 2, 3. Пусть р() = 0,1; р() = 0,4; р() = 0,2. Что представляют собой вероятности следующих событий: а) все три выстрела попадают; б) число попаданий меньше двух?
Schelkunchik 17
Задача 1:а) Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой условной вероятности. Вероятность того, что только 3 детали окажутся окрашенными, можно выразить следующим образом:
\[P(3 \text{ окрашенные}) = \frac{{C_3^3 \cdot C_9^1}}{{C_{12}^4}}\]
где \(C_n^k\) обозначает число сочетаний из \(n\) по \(k\). В данном случае, мы выбираем 3 окрашенные детали из 7 и 1 незакрашенную деталь из 5 (12-7=5). Затем делим это на общее число сочетаний из 12 по 4, что обозначено как \(C_{12}^4\).
Расставляя значения, получаем:
\[P(3 \text{ окрашенные}) = \frac{{C_3^3 \cdot C_9^1}}{{C_{12}^4}} = \frac{{1 \cdot 9}}{{495}} = \frac{{9}}{{495}}\]
Таким образом, вероятность того, что только 3 детали окажутся окрашенными, равна \(\frac{{9}}{{495}}\).
б) Чтобы найти вероятность того, что хотя бы одна деталь будет окрашенной, мы можем рассмотреть событие, противоположное к этому - когда ни одна деталь не окрашена. Затем, вычитая это значение из единицы, мы получим искомую вероятность.
\[P(1 \text{ или более окрашенные}) = 1 - P(0 \text{ окрашенных})\]
Аналогично первой задаче, вероятность того, что ни одной детали не будет окрашено равна:
\[P(0 \text{ окрашенных}) = \frac{{C_0^3 \cdot C_{12}^1}}{{C_{12}^4}}\]
Таким образом, вероятность того, что хотя бы одна деталь будет окрашенной:
\[P(1 \text{ или более окрашенные}) = 1 - \frac{{C_0^3 \cdot C_{12}^1}}{{C_{12}^4}} = 1 - \frac{{1 \cdot 12}}{{495}} = \frac{{495 - 12}}{{495}}\]
Ответ: а) \(\frac{{9}}{{495}}\); б) \(\frac{{495 - 12}}{{495}}\).
Задача 2:
а) Вероятность того, что все три выстрела попадают, равна произведению вероятностей попадания при каждом выстреле:
\[P(\text{все три попадания}) = P(1) \cdot P(2) \cdot P(3) = 0,1 \cdot 0,4 \cdot 0,2 = 0,008\]
б) Для нахождения вероятности числа попаданий меньше двух, мы можем вычислить вероятность того, что произойдет событие "хотя бы два попадания". Затем вычтем эту вероятность из единицы:
\[P(\text{число попаданий меньше двух}) = 1 - P(\text{хотя бы два попадания})\]
Чтобы найти вероятность хотя бы двух попаданий, мы можем сложить вероятности событий "2 попадания" и "3 попадания":
\[P(\text{хотя бы два попадания}) = P(2) + P(3) = 0,4 + 0,2 = 0,6\]
Таким образом, вероятность числа попаданий меньше двух:
\[P(\text{число попаданий меньше двух}) = 1 - 0,6 = 0,4\]
Ответ: а) 0,008; б) 0,4.