1. What are the angles of an equilateral triangle? 2. What is the area of a circle circumscribed around a square with

Delfin_7157

15

1. Углы равностороннего треугольника равны 60 градусов каждый.

Обоснование:
Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, где все стороны равны между собой.
У равностороннего треугольника все углы равны между собой, поскольку сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов.
Пусть \(\angle A\), \(\angle B\) и \(\angle C\) обозначают углы треугольника. Так как все углы равны между собой, то \(\angle A = \angle B = \angle C = x\) (x - мера угла). Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то имеем уравнение:
\(x + x + x = 180^\circ\)
\(3x = 180^\circ\)
Решая это уравнение, получаем:
\(x = \frac{{180^\circ}}{{3}}\)
\(x = 60^\circ\)

Таким образом, углы равностороннего треугольника равны 60 градусов каждый.

2. Площадь окружности, описанной вокруг квадрата со стороной длиной 16 см, равна \(256\pi\) квадратных сантиметров.

Объяснение:
Рассмотрим квадрат ABCD со стороной длиной 16 см. Диагональ квадрата является диаметром окружности, описанной вокруг квадрата.
Диагональ квадрата можно найти, используя теорему Пифагора: \(d = \sqrt{a^2 + a^2}\), где \(d\) - диагональ, а \(a\) - сторона квадрата.
Заменяя \(a\) на 16 см в этой формуле, получаем \(d = \sqrt{16^2 + 16^2} = \sqrt{512} = 16\sqrt{2}\) см.
Площадь окружности можно найти, используя формулу \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь, а \(r\) - радиус окружности.
Так как диаметр равен \(16\sqrt{2}\) см, то радиус равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}\) см.
Подставляя радиус в формулу площади окружности, получаем:
\(S = \pi (8\sqrt{2})^2 = \pi \cdot 64 \cdot 2 = 128\pi\) квадратных сантиметров.

Это площадь окружности, описанной вокруг квадрата со стороной длиной 16 см.

3. Длина стороны равностороннего треугольника, вписанного в окружность, описанную вокруг квадрата со стороной длиной 36 см, равна \(24\sqrt{3}\) см.

Пояснение:
Рассмотрим квадрат ABCD со стороной длиной 36 см. Пусть треугольник XYZ - равносторонний треугольник, вписанный в эту окружность.
Диагональ квадрата является диаметром окружности, описанной вокруг квадрата. Таким образом, диагональ равна периметру треугольника.
Периметр равностороннего треугольника можно найти, умножив длину одной стороны на 3. Так как периметр равен диаметру окружности, имеем уравнение:
\(3 \cdot \text{сторона треугольника} = \text{диагональ квадрата}\)
Подставляем в данное уравнение значение длины диагонали квадрата и находим длину стороны треугольника:
\(3 \cdot \text{сторона треугольника} = 36\sqrt{2}\)
\(\text{сторона треугольника} = \frac{36\sqrt{2}}{3} = 12\sqrt{2}\)
Длина стороны равностороннего треугольника, вписанного в окружность, описанную вокруг квадрата со стороной длиной 36 см, равна \(12\sqrt{2}\) см.

4. Радиус окружности, описанной вокруг правильного многоугольника с длиной стороны 8√3 см, равен 12 см, а количество сторон многоугольника равно 10.

Решение:

1) Радиус окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, связан с длиной стороны многоугольника соотношением \(R = \frac{s}{2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\), где \(R\) - радиус окружности, \(s\) - длина стороны многоугольника, \(n\) - количество сторон многоугольника.

Подставим значения, данного в задаче: \(s = 8\sqrt{3}\) см и \(R = 12\) см.
Найдем формулу для расчета количества сторон многоугольника.

\(R = \frac{s}{2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\)
\(12 = \frac{8\sqrt{3}}{2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\)

Упростим дробь:

\(12 = \frac{4\sqrt{3}}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\)
Домножим обе части уравнения на \(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\), а затем разделим на 4:

\(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{12}\)
\(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Из таблицы значений для синуса угла можно определить, что \(\frac{\pi}{6}\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит,

\(\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{6}\)

Отсюда следует, что \(n = 6\).

Таким образом, количество сторон этого многоугольника равно 6.

2) Чтобы найти количество сторон правильного многоугольника, мы можем использовать теорему о сумме углов в многоугольнике.
Сумма углов в многоугольнике равна \(180^\circ \times (n-2)\), где \(n\) - количество сторон многоугольника.

Разделим сумму углов на количество сторон и найдем меру каждого угла многоугольника:

\(\frac{180^\circ \times (n-2)}{n} = \frac{180^\circ \times (6-2)}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ\)

Таким образом, каждый угол правильного многоугольника равен \(120^\circ\), а количество сторон составляет 6.

5. Повторим задачу №4 но на английском языке.