1) What are the possible limits of the mean weight of the parts for the entire batch delivered to the warehouse (with

Yuzhanin

59

1) Для ответа на этот вопрос мы должны использовать Центральную предельную теорему. Давайте предположим, что средний вес каждой детали в пакете является нормально распределенной случайной величиной.

По Центральной предельной теореме среднее значение всех выборочных средних из достаточно большой выборки будет приближаться к нормальному распределению с теми же параметрами, что и исходное распределение. Таким образом, будем использовать нормальное распределение со средним значением равным среднему значению в исходной популяции и стандартным отклонением, равным стандартному отклонению в исходной популяции, деленному на квадратный корень из размера выборки.

Мы хотим найти диапазон, в котором находится среднее значение веса деталей для всей партии с вероятностью 0.954. Для этого мы должны найти диапазон, содержащий 95.4% всех выборочных средних. Вероятность выхода значений за этот диапазон будет равна (1-0.954) = 0.046.

Формула для нахождения диапазона (интервала) среднего значения с заданной вероятностью:

\[
\text{Диапазон} = \text{Среднее значение} \pm \text{Значение стандартного нормального распределения} \times \left(\frac{\text{Стандартное отклонение}}{\sqrt{\text{Размер выборки}}}\right)
\]

Значение стандартного нормального распределения для вероятности 0.046 составляет приблизительно -1.96.
Давайте обозначим
\(\sigma\) как стандартное отклонение веса деталей в исходной популяции, и
\(n\) как размер выборки.

Таким образом, за значением среднего веса деталей мы можем записать формулу следующим образом:

\[
\text{Средний вес деталей} = \mu \pm 1.96 \times \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
\]

2) Для нахождения требуемого размера выборки нам необходимо использовать следующую формулу:

\[
n = \left(\frac{{z \cdot \sigma}}{{E}}\right)^2
\]

Где:
- \(n\) - размер выборки,
- \(z\) - значение стандартного нормального распределения, соответствующее требуемой вероятности,
- \(\sigma\) - стандартное отклонение веса деталей в исходной популяции,
- \(E\) - допустимая ошибка при определении среднего веса одной детали в партии.

Давайте подставим значения: \(z = 0.683\) и \(E = 0.7\) грамм в формулу и найдем размер выборки \(n\):

\[
n = \left(\frac{{0.683 \cdot \sigma}}{{0.7}}\right)^2
\]

Обратите внимание, что для решения этой задачи мы должны знать значение стандартного отклонения \(\sigma\) веса деталей в исходной популяции. Если у вас есть это значение, подставьте его в формулу для нахождения размера выборки \(n\).